Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
a = X0 < X1 <...< Xn-1 < Xn = b'
Образуем сумму
Sn = ?F (X i)AX i, (18)
i=1
где
DXi = Xi - Xi-1 = Dhi + ^i,
Dhi = hi - hi-ь ^i = xi - ^-1
и X • — точка внутри или на границе интервала [X i-1, X i ]. Данную точку будем считать произвольной, но только до известной степени.
Предположим, что в плоскости Ox h точка X • лежит на прямолинейном отрезке, соединяющем точки Xi и Xi_1. В остальных отношениях данная точка может быть произвольной.
В рассматриваемой задаче независимая переменная X свелась к двум переменным h и х. Следовательно, функцию F(X) также можно рассматривать как функцию двух переменных:
F(X) = f (h, x).
Продолжим данную функцию с уровня переменной h на вещественный уровень и все микро- и промежуточные уровни. Обозначение для аргумента h оставим прежним.
Перепишем интегральную сумму (18) в виде
Sn = if (h i, Xi )(Dh i + Axi). (19)
i=1
Данная сумма представляет собой не что иное, как приближение криволинейного интеграла. Выберем в плоскости Ohx некоторый путь из точки а в точку b (рис. 8.5).
Будем рассматривать такие разбиения отрезка [a, b], при которых все точки разбиения лежат на выбранном пути. Заменим в сумме (19) число отрезков с n на v(n), где v(n) — приближение числа v из продолженного натурального ряда. Перейдем к пределу Lim при
n
n ^ w и затем к пределу limit при v ^<х>. Предположим, что длины
V
всех отрезков стремятся к нулю и, кроме того, предел суммы (19) существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек X •. Дан-
ный предел представляет собой криволинейный интеграл, для которого будем использовать стандартное обозначение
J = J f (h, x) dh + f (h, x) dx. (20)
aLp
Для исследования интеграла (20) можно использовать все методы классического анализа. Главное, что надо будет потом учесть, так это то, что значения h и х принадлежат «на самом деле» не плоскости, а линейно-упорядоченной неархимедовой прямой. Поэтому, например, значение f в точке h = 2w, x = 10 — это действительно значение самой функции F(X), а значение f в точке h = 10, x = 2w — значение продолжения функции F. Отличить одну ситуацию от другой не представляет труда.
Возьмем теперь другой путь aL'Р и подсчитаем для него интеграл (20). Если D — область, ограниченная путями L и L', то различие в криволинейных интегралах по разным путям можно подсчитать по формуле Грина
J f (h, x)dx + f (h,x)dh = JJ
df (h, x) - df (h, x)
dh dx
dhdx, (21)
где C — контур, ограничивающий D. Условие независимости инте грала от пути имеет вид
df (h, x) _ df (h, x)
dh dx
(22)
По-видимому, это центральное место данных построений. Ведь другой путь из а в p означает другой способ разбиения отрезка неархимедовой прямой на части. Значит, если условие (22) не выполняется, то предел интегральной суммы зависит от способа разбиения интервала интегрирования на части. Данную ситуацию необходимо обсудить подробнее. Во-первых, что означает условие (22)? Оно означает, что функция двух переменных f (h, x) фактически сводится к функции только одной переменной от аргумента h + x. Последнее, в свою очередь, означает, что функция F(X) является непрерывной при переходе с вещественного уровня прямой на первый мегауровень.
Таким образом, криволинейный интеграл (20) не зависит от пути только для функций, непрерывных на стыке различных масштабных уровней. Для функций, разрывных на стыке масштабных уровней, предел интегральной суммы от пути интегрирования зави-
сит и, значит, зависит от способа разбиения интервала интегрирования на части.
Похожие ситуации встречаются и в классическом анализе. Действительно, независимость предела интегральной суммы от способа разбиения интервала на части имеет место для непрерывных функций, а также для функций, которые являются разрывными, но «не слишком» разрывными. Например, функция Дирихле уже неинтег-рируема по Риману. Однако этот факт не является препятствием для поиска интегралов. Требуется только изменить само понятие интеграла.
В настоящем разделе мы столкнулись с аналогичной ситуацией. Зависимость интеграла от способа разбиения означает, что функция, разрывная на стыке двух уровней, для интегрирования в классическом смысле также является «слишком разрывной». Можно указать три варианта преодоления данной трудности. Первый — объявить, что при нарушении условия (22) интеграла не существует. Этот вариант неприемлем по следующей причине. Как указывалось, основное свойство неархимедовой прямой состоит в ее многомасштабности. А многомасштабность проявляется только для функций, которые зависят именно от двух, а не от одного аргумента. Иными словами, только для функций, которые ограничению (22) не подчиняются.
