Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Площадь не зависит от угла пересечения прямых только для двух крайних случаев: либо когда d ^ 0, либо когда d неограниченно
велико (крайности сходятся). В рассматриваемой ситуации мы имеем второй случай. Ясно, что внутри таких линий «с толщиной» можно поместить сколько угодно неархимедовых геометрических объектов, один из размеров которых имеет порядок актуальной бесконечно малой величины.
Интересно поставить вопрос: Рис. 9.6. что вообще представляет собой
евклидова геометрия (рассматриваемая как аналитическая геометрия над полем вещественных чисел), если на нее посмотреть с разрешением, которое дает анализ-2? Например, евклидова прямая есть геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению
^вещx вещ ^ Ьвещ y вещ = свещ. (3)
Индекс подчеркивает тот факт, что параметры и переменные суть вещественные числа. Точка «бесконечность» в состав прямой не включена. На неархимедовой плоскости OXY «размазанность» объекта (3) удобно зафиксировать явно, например путем представлений вида авещ = а * + 9, где а* = й(авещ) — ядро числа авещ, а 9 — числа ореола авещ. Фактически 9 = 0вещ или, точнее, 9 — переменная, принимающая любые бесконечно малые значения.
Проведем в пространстве OXY сферу (окружность) радиусом w. Можно утверждать, что все прямые (3) целиком находятся внутри данной сферы. Здесь же находятся и другие объекты евклидовой геометрии. Иными словами, весь мир евклидовой геометрии ограничен сферой радиуса w.
Согласно аксиоме Евклида, через две точки проходит только одна прямая. Возьмем точки
Ж°веш , °вещ ) и В (0вещ
, 1вещ ). (4)
Через данные точки проходит единственная евклидова прямая
у вещ = 0 вещ . (5)
С другой стороны, через точки (4) можно провести сколько угодно (пучок) неархимедовых прямых. Возьмем две характерные прямые из этого пучка:
Y = 0Сущ и Y = E • X. (6)
Если данные прямые наблюдать со степенью разрешения, принятой в анализе-1, то в области конечных чисел (заведомо внутри сферы радиуса w) прямые (6) не различаются между собой и не отличается от евклидовой прямой (5). Однако при большем удалении от начала координат начинают проявляться качественно новые эффекты: прямая (5) вдруг исчезает из поля зрения (она заканчивается раньше), а различие между прямыми (6) становятся заметными. Например, при X = w ординаты прямых (6) отличаются на 1, при X = w2 отличие в ординатах равно w и т.д. Становится очевидным, что через точки A и B проходит бесконечно много прямых, образующих пучок. Ограничимся указанными замечаниями и перейдем к рассмотрению других классов геометрических объектов на неархимедовой плоскости.
Продолжение по непрерывности. Отметим, что на самом вещественном каркасе может быть задана евклидова метрика или различные варианты неевклидовых метрик. Наиболее простой вариант состоит в том, чтобы данные метрики продолжить на микро- и мегаобласти «по непрерывности». Выше мы остановились на евклидовой метрике. Обсудим вопрос о непрерывном продолжении. Пусть у = f (x) — уравнение некоторой кривой на обычной плоскости Oxy. На плоскости OXY ей соответствует совокупность точек вещественной решетки у * = f (x *). Определим новый геометрический объект
Y = F(X) на плоскости OXY так, чтобы выполнялись следующие условия:
F (x *) = f (x *); если X = Limxn, то положим
n^w
F(X) = LimF(x*n) ;
n^w
если X = limit X(v), где X(v) = Limxn(v), то положим
V^ot n^w
F (X) = limit F(X(v)).
V^ot
Считаем, что все пределы существуют и принадлежат прямым OX или OY. Об объекте, построенном по указанным правилам, будем говорить, что он является непрерывным продолжением объекта y = f (x) с вещественной плоскости на неархимедову плоскость. Например, непрерывным продолжением окружности (1) является окружность (рис. 9.7 R = 1)
X2 + Y2 = 1.
Последняя является уже непроницаемым препятствием для любых непрерывных путей, ведущих из начала координат во внешние к кругу точки. Все результаты, полученные в геометрии над полем вещественных чисел, переносятся без изменений на неархимедовы объекты, продолженные по непрерывности. Следовательно, условие согласованности для неархимедовой геометрии выполняется: в неархимедовой геометрии есть класс геометрических
объектов, для которыгх все результаты архимедовых теорий сохраняются без изменений.
Геометрические объекты с параметрами, равными бесконечно большим или бесконечно малым числам. Обратимся к объектам, которые получены непрерывным продолжением с вещественного масштабного уровня. Все параметры, которые фигурируют в их описании, могут быть числами только вещественного уровня. Ничто, однако, не мешает рассмотреть аналогичные объекты с параметрами, принадлежащими другим уровням неархимедовой прямой. Например, прямая
