Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
сослаться на множества Жюлиа комплексного квадратичного отображения [115].
Действительно, исключим вначале все эффекты, связанные с многомерностью области существенных чисел. Пусть X, Y принадлежат неархимедовой прямой, а точки A°,...Aw... — к неархимедовой плоскости OXY (это ограничение относится уже к оператору F). Положим Z = X + iY и зададим оператор F условием
Zn+1 = ZП + C, C = const, n = 0,1... w,... (14)
В классическом анализе заполненное множество Жюлиа определяется как множества стартовых точек, для которых итерации (14) остаются ограниченными при n — да. В неархимедовом анализе то же самое условие сводится к требованию ограниченности конечным числом модуля | Zw |.
Многомасштабность неархимедовой переменной позволяет строить свои фракталы на каждом из масштабных уровней. Возьмем два уровня:
X = x + X; Y = y + h, (15)
где x, y — ядра вещественных чисел, X, h — актуальные бесконечно малые. Пусть оператор F задается двумя функциями четырех переменных:
x' + X = f (x, X, У, h),
(16)
y' + h' = g(x, X, У, h).
Штрихами обозначен образ точки (15). Если
df _ f = 0 df _ f = 0,
dx dX ' dy dh '
dg _-dS = 0 _ _dS = 0
dx 0X ’ dy dh '
(17)
то функции зависят не от четырех, а только от двух аргументов. Поэтому многомасштабность фактически не проявляется. Преобразование (14) относится именно к этому типу. Ослабим условия (17).
Пусть
x' = f(x,y), y' = g(x,y), (18)
X'= j(x,у,X,h), h'= j(x,y,X,h). (19)
Согласно (18), реперные точки с координатами, равными ядрам вещественных чисел, переходят в реперные же точки. Следовательно, в качестве (18) можно взять преобразование (14) или любые другие преобразования, которые строятся на обычной (архимедовой) плос-
кости. Для преобразования ореолов (19) можно использовать преобразование того же типа, что и для вещественной решетки (18). Однако ничто не мешает рассмотреть и более общие случаи, когда берутся преобразования других типов. Здесь появляется слишком много возможностей. Для упрощения можно поставить условие «неперемеши-вания ореолов и стандартный частей за любое конечное число итераций». Имеется в виду следующее. Если стандартная часть координат (X, Y) преобразуется по правилу (18), т.е. точка (х,у) переходит в точку (х', у'), то ореол точки (х,у) должен переходить в ореол точки (х', у'). Возьмем за основу комплексное квадратичное отображение (14). Тогда условию «неперемешивания за конечное число шагов» будет удовлетворять следующее отображение (19):
Х= w(X2 - h2) + E • Р(х,у), h'= 2wX h + E • <2(х,у),
где P + iQ = C — параметр, возможно зависящий от положения реперной точки (х,у), P, Q — ядра вещественный чисел.
Таким образом, в неархимедово пространство можно перенести любые фракталы, которые возможны в обычном архимедовом пространстве. Кроме того, здесь открываются качественно новые возможности, связанные с наличием бесконечного числа масштабов и измерений самих неархимедовых осей координат.
§ 42. Измерение углов касания
Пусть х, у — обыиныге вещественные переменные и Оху — обычная (т.е. архимедова) плоскость. Пусть у = f (х), g(х) — графики двух гладких функций, которые проходят через начало координат. Предположим, что существует рациональное число 5(g, f) > 0 такое, что при 0 < х < 5 знак f (х) - g^) не меняется. Значит, при 0 < х < 5 либо f (х) > g^), либо f (х) < g^). Область между графиками функций при
0 < х < 5 называется углом, точка (0, 0) — его вершиной, а графики f (х), g^) — сторонами угла.
Проблема состоит в том, чтобы найти меру подобныгх углов. Обозначим меру через a(g, f). Величина окрестности 5 значения не имеет, поэтому параметр 5 в обозначении меры не фигурирует. Везде имеется в виду то, что мы работаем в пределах 5-окрестности. Мера углов должна удовлетворять условиям:
10. a(g, f) = -a(f, g). Если f (х) > g(х), то a(g, f) > 0.
20. Расширим понятие угла на случай, когда f (х) = g^). Положим по определению, что a(f, f) = 0.
30. Мера угла должна удовлетворять также условию согласованности:
для угла, образованного двумя лучами
g(x) = 0, f (x) = tgb • x, (1)
мера должна давать общепринятое значение, т.е. величину Р:
a(0; tgbx) = p. (2)
40. Кроме того, мера должна удовлетворять условию аддитивности: если f (x), g(x) и h(x) — три функции, удовлетворяющие указанным выше условиям, то
a(h, g) + a( g, f) = a(h, f).
Таким образом, для прямолинейных углов решение задачи дается формулой (2). Проблема, как известно, возникает, когда стороны угла в вершине имеют общую касательную. Ниже достаточно ограничиться случаем, когда g (x) = 0 и f (x) > 0.
