Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 79

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 124 >> Следующая

Таким образом, мы пришли к разложению интервала интегрирования на отрезки двух родов. Отрезки первого рода — это отрезки A0B0,...AnBn. В пределах каждого из них значение hi постоянно. Данные отрезки находятся в поле нашего зрения. Напротив, отрезки B0A1,...Bn-1 An представляют собой точки горизонта, или зоны контакта между масштабными уровнями. В их пределах значение h возрастает.
Дальше будем действовать согласно принятой концепции определенного интеграла. Введем функцию Ф (X) = Ф("Л, х) и запишем тождество
Ф(Ь) - Ф(а) = [Ф (B0) - Ф^ 0)] + [Ф^ 1) - Фад + ... + [Ф^) - Ф^)].
Выберем некоторое число v = Limv(m) из продолженного натураль-
m^w
ного ряда. Разобьем отрезки A0B0,...,AnBn на v(m) частей, образуем суммы вида (1) § 32 и перейдем к пределу limit при v ^ да. В каждом из указанных отрезков величина h фиксирована (это главное), поэтому в пределе получим
q
Ф(В;) - Ф(А;) = <2(hi) = J f (hi,х) йх,
-p
где
. дФ(г|, х) f (h, х) = -
дх
В искомый интеграл по исходному интервалу [a, b] должна войти сумма интегралов Q(h i) ко всем i от 1 до n. Поэтому можно сказать так: проблема интегрирования по участкам общей длины, равной n • l, решилась. Длина же всего интервала интегрирования равна Ь - a. Следовательно, неизвестным пока остается значение интеграла по участкам BiAi+1 общей длиной (b - a - l • n). Естественно рассмотреть процедуру предельного перехода, в результате которой указанная длина должна стремиться к нулю.
Рассмотрим процедуру такого перехода. Вначале отметим, что числа (b - a) и l принадлежат к различным масштабным уровням прямой. Например, возможно, что
l = 100, Ь - a = 200w + 100. (6)
Предельный переход, который позволит полностью заполнить интервал b - a отрезками длиной l, может принадлежать только к типу Lim. При этом должны выполняться некоторые ограничения. Во-первых, на интервале [a, b] должно укладываться целое число отрезков l. Во-вторых, сам закон дробления интервала на части должен быть несколько изменен. Выше мы приняли, что интервал разбивается на n отрезков. Значит, имеется в виду, что разбиение осуществляется по следующему закону: n = 1,2,3,4.... Для предельных переходов в смысле Lim данный закон (n ^ w) значение имеет. Для наших целей необходима большая свобода в выборе закона дробления. Пусть на первом шаге интервал разбивается на m(1) отрезков, на втором шаге — на m(2) отрезков, на шаге n — на m(n) отрезков; m(n) — известная функция. Предположим, что b - a = kw + h, где к и h — числа вещественного масштабного уровня. Интервал интегрирования будет исчерпан отрезками l, если
Lim[kw + h - m (n)l] = 0, (7)
n^w
отсюда
, ч k h
m(n) = — n + —. l l
Предположим, что a < p. Расстояние до точки горизонта в положительном направлении равно q, в отрицательном — p. Поэтому должно быть
a = h0 - Р, Р = he + q, h0 < he, (8)
а значит, h = l и, кроме того, k/1 — должно быть числом натуральным. В примере (6) данные условия выполняются. А как быть, если число k/1 не является натуральным, например
q = 60, p = 40, l = 100; a = w - 10, Р = 3w + 50,
и, значит, k/1 = 0,02? Во-первых, ясно, что с отрезками на концах интервала проблем нет. По отрезку [w - 40, w - 10] интеграл вычисляется при фиксированном значении h = w. Вычитая полученное значение из интеграла по области (8), получим необходимый результат. То же самое можно сделать и для другого конца интервала. Поэтому далее достаточно ограничиться случаем (8). Вопрос с отношением k /1 = 0,02 несколько сложнее.
Для его решения предпримем следующее. Возьмем отрезок [w,3w] и периодически продолжим функцию вправо до точки 101w. В результате функция будет определена на интервале [w, 101w]. Расширим интервал до [w - 40, 101w + 60]. (Интегралы по добавленным отрезкам известны.) Теперь k /1 = 1 — число натуральное. Если вычислить интеграл по данной области, то, пользуясь периодичностью, легко подсчитать интеграл и для исходной области.
Далее, исходное значение k /1 = 0,02 — число рациональное и это обстоятельство в данном случае существенно. Нетрудно дать обоснование подобной процедуры и для иррациональных k /1. Таким образом, теперь можно считать, что концы области интегрирования всегда лежат в точках (8), а условие о том, что k /1 — число натуральное, можно снять.
Подводя итог, можно сказать, что предельный переход (7) приводит к тому, что все зоны контакта между масштабными уровнями интервала [a, Р] вырождаются в точки контакта. Предположим вначале, что и сумма интегралов по указанным зонам контакта стремится к нулю. Это значит, что проблема интегрирования свелась к суммированию интегралов по отрезкам AiBi. В каждом из слагаемых фигурирует параметр h. Если расстояния до точки горизонта в положительном и отрицательном направлениях различны, то значение h берется не в середине отрезка интегрирования. Для охвата
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed