Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Для этого нам понадобятся процедуры, которые позволили бы констатировать, что движение (1) на мегауровне времени является равномерным, на вещественном уровне — равноускоренным, а на микроуровне — равнозамедленным.
Выделим явно масштабные уровни аргумента X:
X = + hm-1 +...+ h 1 + х + x1 + x 2 + ... + x ш +..., (2)
hm = х-mWm, ... h 1 = х-1 w, х = х0, ... Хш = хжЕш,... .
Как и прежде, ограничимся случаем, когда все переменные х - m,... х^,,... представляют собой ядра вещественных чисел. Возь-
мем теперь некоторую несчетную последовательность приращений аргумента
AX1, AX2,... AX w,... AX v..., (3)
которая сходится к нулю:
limit AX v = 0.
v—от
Вместо последовательности (3) можно говорить о несчетной последовательности значений X v = X - AX v
X1,X2,...X w ,...X v,...
такой, что
limit X v = X, X v ф X.
v ——от
При подсчете производной типа 2 нас интересовал предел функции F(X) - F(X - AX v) = F(X) - F(X у)
AX v X - X v
при AX v — 0, или X — Xv. Но что значит AX v — 0? Это значит, что с увеличением v мы должны переходить к значениям AX v, по модулю меньшим, чем 10 1, 10 2,... 10-п,... E, Ew и т.д. То есть мы должны переходить все время к новым масштабным уровням неархимедовой прямой. В техническом плане это означает следующее. Запишем выражение для AXv, которое следует из (2) (индекс v временно опустим):
AX = Ahm + Ahm-1 +... + Ah 1 + Ax + AX 1 +... + AX * +...,
Ahm = wmAx-m, Ah 1 = wAx-1,
Ax = Ax 0, AX 1 = EAx 1, ... AX * = E* Ax *, ... .
С уменьшением AX вначале зануляется приращение Ahm, затем за-
нуляется приращение Ahm-1 и т.д. до приращений AX1, AX2... AX*,... .
Это с одной стороны. С другой стороны, у нас есть основания считать, что на разных масштабных уровнях пространства и времени действуют различные законы, управляющие изменением тех или иных функций. Для описания указанных законов необходимо располагать производными, в которых приращение аргумента оставалось бы все время на одном и том же масштабном уровне. Ясно, что это не могут быть производные типа 2, рассмотренные выше.
Смысл новых определений удобнее пояснить на примере. Пусть
F (X) = x 2 + (X1 + X 2 +... + X * + ...)3.
Положим AX = Ax и вычислим
F(X) - F(X - AX) AX
= 2х - Ax. (4)
Очевидно, что корректная процедура для вычисления производной на вещественном масштабном уровне должна привести к значению производной, равному 2х. Поэтому необходимо выбрать последовательность значений Ax такую, чтобы ее предел в смысле limit был равен нулю. Формально это невозможно, так как х и Ax — это переменные вещественного масштабного уровня. Следовательно, | Ax | может быть меньше 1/n для n = 1,2,3..., но добиться условия |Aх |< E, E2,... на вещественном масштабном уровне невозможно. Здесь возникает следующая идея: найти формальные основания для применения оператора limit к переменной Ax так, чтобы в результате был нуль и при этом сохранить структуру выражения (4).
Рассмотрим реализацию данной идеи. Вместо переменной AX v будем использовать переменную Xv = X0 - AXv, X0 — предельная точка. (Индекс «0» подчеркивает, что речь идет о некоторой фиксированной точке.) Вместо р (Xv, X) для общности возьмем некоторую функцию F(X). Затем ее можно будет заменить на p(X v, X).
Прежде всего уточним исходную постановку задачи. Пусть функция Y = F (X) определена на некоторой совокупности точек D, принадлежащих области существенных чисел. Пусть некоторая точка X0 также принадлежит области D. Вполне может оказаться ситуация, когда в области D нельзя будет найти последовательность X v, которая стремится к X0 в смысле limit:
limit Xv = X0, Xv e D.
v——OT
Эту ситуацию можно обрисовать следующим образом. Последовательность, сходящаяся в смысле limit, обязательно должна быть несчетной:
X1,X2,...X n ,...X w ,...X v ,....
Если несчетная последовательность сходится, то она является фундаментальной. Следовательно, она обязательно будет охватывать неограниченное число масштабных уровней. Можно сказать так: несчетные последовательности являются настолько длинными, что размещаются только на неограниченном числе масштабных уровней области существенных чисел. Поэтому если функция определена на ограниченном числе масштабных уровней, то мы заведомо не можем говорить о ее пределе в смысле limit.
Итак, пусть область D не настолько богата, чтобы в ее рамках можно было размещать несчетные последовательности, но, тем не менее, все необходимые счетные последовательности она в себе содержит. Пусть
Xi,X2,...X „,... (5)
— одна из таких последовательностей. Продолжим ее по непрерывности до несчетной последовательности
Xi,X2,...Xw = LimX„, Xw, 1 = LimX„+1,... . (6)
