Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 63

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 124 >> Следующая

= (х 1Е)2 + х 1sinx 0 + (х _1 w)3.
Именно это свойство попытаемся промоделировать на обычных функциях действительного переменного. Есть основания надеяться, что различные варианты дифференцирования и интегрирования подобных функций, включая определенное интегрирование, будут моделировать аналогичные операции для неархимедовых функций. Тогда полученные ниже формулы можно будет рассматривать как некоторый материал для обобщений на неархимедову числовую область. Главным здесь является то обстоятельство, что все полученные формулы будут представлять собой не что иное, как обычные формулы классического анализа, только записанные в некотором специальном виде. Такая исходная посылка, кроме всего прочего, дает дополнительное обоснование соответствующих построений в неархимедовой области.
Пусть теперь y = F(х) — действительная функция обычного действительного переменного х. Для наших целей необходимо найти такой способ «расщепления» аргумента х, который был бы похож на расщепление аргумента в формуле (1).
Воспользуемся для этого уровнями доступности, рассмотренными в § 24. В случае двух уровней имеем представление (3) § 24. Пусть х > 0. Переменная z в (3) § 24 не ограничена, но может принимать только дискретные значения. Переменная t ограничена, но может меняться непрерывно, т.е.
z = 0, 1, 2, 3,...; 0 < t < 1.
Таким образом,
y = F (х) = F (z + t) = f (z, t). (2)
Например,
F (х) = f (z, t) = (t + z)2 = х 2, (3)
или
F (х) = f (z, t) = z3 + t2. (4)
В первом случае аргумент «воспринимается» функцией как единое
целое, во втором — расщепляется на отдельные составляющие.
Продолжение функции с одного уровня прямой на другой ее уровень.
Как отмечалось, функция f (z, t) определена только при целых z. Будем считать, что ее можно продолжить на все значения z. Например, если функция задана аналитическим выражением, которое имеет смысл не только для целых z, то ее продолжение можно опре-
делять тем же аналитическим выражением. Аналогично считаем, что для любого z функция f (z, t) может быть продолжена в область значений t < 0, t > 1.
Таким образом, теперь мы располагаем функцией двух переменных, определенной на плоскости 0zt. Примем, что функция имеет все интегралы и производные, которые нам потребуются в дальнейшем.
Рассмотрим подробнее связь (2). В общем случае даже для гладкой функции f (z, t) функция F(x) при целых x будет разрывной. Разрыв равен
[F(x)] = F(x + 0) - F(x - 0) = f (z + 1,0) - f (z, 1),
где x = z — целое (рис. 6.2).
Проведем теперь на плоскости (z, t) прямую
t =-z + x0, x0 = const.
Все точки этой прямой соответствуют одной и той же точке на оси Ох — точке х = х0. Таким образом, в общем случае мы имеем беско-
нечно много различных значений f (z, - z + х0), которые относятся к точке х = х0. Только одно из этих значений при z = [х0] равно значению самой функции F в точке х0, остальные значения равны зна-
чениям различных продолжений F(х). В дальнейшем для нас большее значение будет иметь продолжение функции F(х), равное f (z, 0). Фактически это есть продолжение функции с макроуровня на микроуровни. Если нас не интересуют значения F(х) при дробном х или эти значения нам недоступны, то f (z, 0) дает представление о поведении F(х) в целом. Продолжение функции с микроуровня на макроуровень имеет совсем другой смысл. Например, функция f (0, t) при
0 < t < 1 характеризует локальное поведение F(х) в точке х = 0. При увеличении t та же функция f (0, t) дает экстраполяцию локального поведения на макроуровень.
Итак, совокупность всевозможных продолжений F (х) в точку х = х0 описывается значениями f (z, - z + х0). Если для некоторых значений аргументов имеют место равенства
то можно говорить о непрерывности соответствующего продолжения функции в точке х0. В противном случае непрерывности не будет и можно вычислить разрыв. Здесь возможно чрезвычайно много самых различных вариантов. В самом простом варианте непрерывность будет иметь место во всех точках и для любых продолжений. Тогда равенство (5) становится тождеством и достаточное условие непрерывности приобретает вид
В данном случае функция f (z, t) сводится к функции одной переменной:
Здесь уместно вернуться к рассуждениям о том, что функция F(х) может воспринимать свой аргумент либо «целиком», либо расщеплять его на отдельные части. Легко заметить, что данное свойство зависит от списка операций, которые допускаются для функции F. Если в операциях, связывающих х и F(х), мы допустим предельные переходы, то грань между функциями типа (3) и (4) стирается. Например,
f (z, - z + х0) = F(х0),
(5)
Sf (z, t) = df (z, t) St Sz
(6)
F (х) = F (t + z) = f (z, t) = f (t + z).
целого х, дробного х.
Таким образом, рассуждения п. 1 можно рассматривать только как наводящие. При строгих формулировках мы должны рассматривать только условия типа (5), (6).
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed