Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
§ 26. Моделирование производных и неопределенных интегралов
Итак, в качестве исходной нам задана функция y _ F(х). В типичном случае данная функция будет разрывной в целочисленных точках х и гладкой между этими точками. В принципе, для ее исследования можно использовать все методы классического анализа, в том числе и понятия производных и интегралов. Однако в нашей модели мы учитываем некоторые новые обстоятельства, в частности уровни доступности точек на прямой.
Предположим, что масштаб нашего непосредственного восприятия гораздо больше единицы масштаба, выбранного на оси Ох. Например, единице масштаба на оси Ох соответствует 10 33 см. В этой ситуации переменная, которая пробегает только дискретные значения 0,1,2,3, ..., воспринимается нами как непрерывная переменная. Пусть, например,
f (z, t) _ z 2 + 10-5sint.
Ясно, что, сопоставляя каждому наблюдаемому целому значению х _ z его квадрат, мы приходим к выводу, что график функции — это квадратная парабола. О том, что есть какие-то промежуточные точки t ф 0, мы вообще можем не знать. Так же, как можем не знать о самой величине масштаба, т.е. о величине 10 33 см. Поэтому при изображении параболы мы считаем, что график функции представляет собой гладкую кривую, которой отвечает своя производная. Таким образом, если доступны только целочисленные значения аргумента, то говорить об обычной производной функции смысла нет.
Рассмотрим теперь различные конструкции, которые можно будет использовать для исследования функций с учетом указанных ограничений. Классическая производная — это приращение функции, отнесенное к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента неограниченно уменьшается. Идеи данного раздела сводятся к следующим:
а) если отношение приращений нельзя подсчитать для самой функции, то можно подсчитать его для различных продолжений функции и затем перейти к производным;
б) если обозначена граница уменьшения приращения аргумента, то можно ввести такие определения, в которых данная граница учитывалась бы явно.
Перейдем к описанию конкретных вариантов.
1. Пусть нам доступны значения F(х) только при целых х = 0; 1;...г,...N. Первое, что здесь можно сделать, — это взять в качестве характеристики функции отношение Ду / Дх при Дх = 1. Функция разрывна в целочисленных значениях аргумента, поэтому для выбора значений F(г) есть различные варианты.
2. Ничто не мешает ввести в аппарат обычные производные:
gf (z,0) , df (z,1).
dz ’ dz
Любому фиксированному целому z производной
gf (z, t)
gt
отвечает производная самой функции F(х), если 0 < t < 1, и производная от продолжения функции, если t < 0 или t > 1. Функцию f по отношению к своим производным естественно считать соответствующим неопределенным интегралом.
3. В случае необходимости можно использовать также производные вида
gf (z, t) gf (z, t) g2 f (z, t)
gz gt gzgt
и соответствующие им интегралы. Здесь переменная z уже может быть и не целым числом. Аналогично можно рассмотреть любое число уровней доступности на действительной прямой.
§ 27. Моделирование определенных интегралов
Пусть по-прежнему
у = F(х) = f(z,t), z = [х], t = {х}, х = z + t.
Функция определена на оси Ох. Ось Ох — обычная действительная прямая, но мы ее изображаем так, как показано на рис. 6.1, б. Рисунок иллюстрирует разные уровни доступности точек оси.
Функция f (z, t) предполагалась гладкой по обоим своим аргументам. Следовательно, F(х) может быть разрывной только при целых х, причем разрывы будут только первого рода. Поэтому функция
F(x) является интегрируемой по Риману и интеграл от нее определяется обычным образом:
Ф(х) = 1F(x)dx = 1 f ([x], {x})dx. (1)
0 0
Однако для моделирования неархимедова случая такая форма записи ничего не дает. Для построения модели мы должны учесть наличие различных уровней доступности на оси. При записи (1) мы предполагали, что нам известен как сам масштаб уровня {x}, так и поведение функции на этом уровне. Ниже рассмотрим остальные возможности.
Как и прежде, предположим, что масштаб нашего непосредственного восприятия много больше единицы. Точнее, если на оси Ox оставить только целые значения x, то ось по-прежнему будет нами восприниматься как сплошная линия. Есть смысл рассмотреть следующие варианты.
Пусть мы располагаем значениями функции при целых x = z и
10. Ничего не подозреваем о существовании масштаба {x} и о возможности иных законов поведения функции на этом масштабе.
20. Не известна величина масштаба {x}, но известно поведение функции при дробных x.
30. Известен сам масштаб {x}, но не известно поведение функции при дробном x.
40. Известен сам масштаб {x} и поведение функции на этом масштабе.
Рассмотрим в качестве примера функцию
