Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 66

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 124 >> Следующая

криволинейному интегралу в плоскости (z, t). Последнее открывает новые возможности для дальнейших построений.
Итак, пусть интервал интегрирования [0, а] разбит на интервалы точками
x0 = 0 < x! <...< xn_! < xn = a. (5)
Возьмем внутри каждого интервала некоторую точку x\ и образуем интегральную сумму
Jn=tf (x i) Dxi >
i= 1
где Axi = xi - xi_ i, xi_ i < x i < xi. Разложим значения аргумента на целую и дробную части:
xi = Zi + ti, xi = zi + t'i, Dx{ = Dzi + Dti.
В этом случае интегральная сумма приобретает следующий вид:
Jn = it if (zi, tj) Azi + f (zi, t J) At i ]. (6)
i=1
Изобразим разбиение (5) точками на плоскости (z, t) (рис. 6.3).
Соединим две соседние точки A(zi-1, ti-1) и B(zi, ti) отрезком и рассмотрим положение точки B '(zi, ti) относительно этого отрезка. Здесь возможны три типа интервалов: 10) если zi-1 = zi, то отрезок AB вертикален и, значит, промежуточная точка всегда лежит на этом отрезке; 20) между точками AB нет ни одной прямой z = const, пересекающей AB. Следовательно, точки A, B лежат на соседних прямых
z = const. Для этого случая в качестве точки B' всегда будем брать либо точку A, либо точку B. И наконец, последний случай: 30) отрезок AB не вертикален и таков, что найдется хотя бы одна прямая z = const, пересекающая отрезок AB между точками A и B. Если промежуточная точка B' не совпадает с указанной точкой пересечения, то отбросим ее и заменим точкой пересечения так, как это показано на рис. 6.3.
I
Что означает сумма (6) в указанных условиях? Очевидно, что это по-прежнему интегральная сумма. Единственное ее отличие от той суммы, которая фигурирует в определении интеграла Римана, состоит в том, что в ней промежуточные точки могут зависеть от способа разбиения интервала на части. Если интеграл существует (а именно это везде предполагается), то указанное ограничение на конечном результате никак не скажется. Будем теперь уменьшать максимальную длину интервалов (5). Это приведет к тому, то на плоскости (z, t) интервалы типа 30 исчезнут и останутся только интервалы 10 и 20 типов.
При этом длины интервалов первого типа будут стремиться к 0, а длины интервалов типа 20 — стремиться к V2. Например, пусть xi = 1 - 10-n, xi+1 = 1 + 10-n. На оси Ох длина интервала равна
2 • 10- n ^ 0при n ^ да, а на плоскости Ozt точка x i стремится к точке С с координатами z = 0, t = 1, а точка xi+1 — к точке D с координатами z = 1, t = 0 (рис. 6.4).
Расстояние между ними стремится к V2. Это обстоятельство не позволяет трактовать сумму (6) как интегральную, соответствующую криволинейному интегралу. Поэтому разобьем все наклонные отрезки типа CD на свои интервалы. Выберем внутри этих интервалов промежуточные точки и добавим соответствующие слагаемые в сумму (6). Вместе с указанными слагаемыми сумма (6) теперь будет являться приближением криволинейного интеграла
J f (z, t) dz + f (z, t) dt.
L
При уменьшении длины интервалов угол наклона звеньев типа CD стремится к p/4. Следовательно, вдоль CD имеем dz + dt = 0. Поэтому криволинейный интеграл по отрезкам типа CD равен нулю и предельное значение (6) совпадает со значением интеграла Римана. Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 27.1. Интеграл Римана от функции F(x) по отрезку [0, а] совпадает с криволинейным интегралом второго типа по пути L в плоскости (z, t), где z, t — целая и дробная части x и путь L представляет собой ломаную, состоящую из вертикальных отрезков и отрезков, наклоненных к осям под углом, равным p/4(dz + dt = 0):
Теорема, в сущности, является очевидной, но, тем не менее, имеет ряд полезных следствий. Во-первых, интересно рассмотреть другие пути, соединяющие те же начальную и конечную точки. Если эти пути имеют вертикальные участки, то криволинейный интеграл по ним — это интеграл Римана от самой функции F(x). На всех остальных участках интеграл относится к различным продолжениям F(x). Например, для пути L' (см. рис. 6.4), состоящего из одного горизонтального отрезка OK, имеем
Здесь во внимание принимаются только значения функции при целых x, которые затем продолжаются во все промежуточные точки. Для любых путей имеет место формула Грина:
где C — замкнутый контур, ограничивающий область D. Замкнутый контур можно рассматривать как совокупность двух путей между одними и теми же начальной и конечной точками. Интеграл не зависит от пути, если
Выше это же условие было получено исходя из требования непрерывности функции на стыке различных масштабных уровней прямой. Если условие непрерывности не выполняется, то правая часть равенства (9) позволяет дать расчет в разнице криволинейных интегралов, взятых по разным путям. Например, отличие интеграла (8) от интеграла (7) определяется суммой двойных интегралов по заштрихованным областям, показанным на рис. 6.4.
a
(7)
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed