Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
20. Выбору разбиения области определения функции на интервалы, для которых слагаемые в интегральной сумме записываются в виде
F(X j+1) - F(X j)
v 1) F j' (X j+1 - X j).
X j+1 - X j
30. Выбору точек в области определения функции, для которых слагаемые записываются в виде
Ф(Х;+1) - Ф(Х;). (4)
40. Выбору типа предельного перехода: limit, Lim либо их комбинации.
50. Вычислению функции Ф(Х) на основе данных о пределе отношения
Ф(Хt+1) - Ф(Хf)
X t+1 - X t ’
а также данных о слагаемых вида (4).
60. Вычислению значения определенного интеграла и интерпретации полученного результата.
Основное тождество. Введем обозначения, которые позволяют упростить запись тождеств вида (2). Прежде всего предположим, что разбиение интервала является равномерным:
АXn = АX(n) = , Xt = а + tАXn, t = 0, 1, 2,... n.
n
Будем использовать также упрощенные обозначения:
АX(n) = АX n = АХ
В неархимедовом анализе необходимо принять, что функция Ф в тождестве (2) может зависеть не только от аргумента X, но и от приращения аргумента АX:
Ф = Ф(Х, АX).
Следовательно, приращение Ф будет зависеть уже от трех аргументов:
J(X, X', АX) = Ф(Х', АХ) - Ф(Х, АХ).
Тождество остается, конечно, верным и в этом случае.
Пусть теперь F(X, ДХ) — некоторая функция, заданная на отрезке [а, -] и зависящая от ДХ (или, что то же самое, от n) как от параметра (рис. 8.1). Возьмем равномерное разбиение отрезка и вычислим значения функции в серединах отрезков, т.е. при
v АX 3 .v
X = а + —, а + - Да, ... а +
2 2
i = 1, 2,... n.
i - -2
А V П АХ
АХ.... - - - (5)
Образуем их сумму, умноженную на АХ. Для знака суммы позаимствуем обозначение интеграла. Ниже будет видно, что это удобно и
вполне оправданно. Для идентификации суммы необходимо указать вид функции F и три параметра a, b и n.
Определение 31.1. Примем по определению, что
b
(n) j F (X
AX
, AX) AX =F a + —, AX 2
AX +
(6)
| 3 AX . v
+ F | a +--------, AX
2
AX +... + F
b - AX, AX 2
AX,
где AX = (b - a)/n, n — число натуральное.
В случаях, когда величина AX известна из контекста, указание на параметр n можно опускать. Если же роль n необходимо подчеркнуть, то вместо AX будем писать AX(n). Перед знаком интеграла (в данном случае он обозначает сумму) вместо n допускаем также указание на длину интервала AX.
Из определения видно, что параметры a, b и AX не произвольны, но связаны следующим условием: число (b - a) /AX должно быть обязательно натуральным. Коль скоро сумма (6) зависит от натурального n, то можно рассмотреть ее предел в смысле Lim при n ^ w. Пусть
l = Lim AX(n) = Lim ba.
n^ w n^ w n
Тогда по определению
bb (l) j F(X, AX) AX = Lim(n) j F(X, AX) AX.
J n^w J
a
a
a
Основное тождество. Если DX = (b - a)/n, n — натуральное число и две функции F(X, DX), Ф(Х, DX) связаны условием
Ф, „ - , , „ - ,
' " ' ' " ' = F(X, DX), (7)
DX
которое имеет место в серединах субинтервалов (5), либо, что то же самое, связаны условием
Ф (X + DX, DX) - Ф (X, DX)
( DX Л ( DX Л 1
X + --- DX - Ф X - ---, DX
I 2 У I 2 J
DX
= F
X + DX, DX
2
(8)
где
то
X = Xo = a,Xi,X2,...Xn-1 = b - DX,
b
j F(X, DX)DX = F(b, DX) - F(a, DX). (9)
a
• Доказательство. При подстановке (7) или (8) в (6) все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются.
Таким образом, если задана функция F(X, DX) и требуется найти сумму (6), то для этого достаточно решить уравнения (7) или (8) и записать результат в форме (9).
Замечание. Возможно, что функции F(X, DX), F(X, DX) определены не только в серединах и концах отрезков DX, но и при любых X, DX. Тогда выполнение (7) без ограничений (5) также гарантирует выполнение (9).
Если функция Ф1 решает задачу для F1, а функция Ф2 — для F2, то функция Ф = С1Ф1 + С2Ф2 решает задачу для F = C1F1 + C2F2.
Далее,
ba
j F(X, DX) DX = - j F(X, DX)DX.
ab
Здесь в правой части DX = (b - a)/n, в левой части DX = (a- b)/n. Функция Ф^, DX) имеет ясный смысл. Если Ф есть решение уравнений (8) или (7), то Ф + const есть также решение. Постоянную можно выбрать так, чтобы имело место равенство
