Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
(2)
(3)
Пусть функция Y = F(X) задана при
X = х-mwm +... + х-iw + х0 + х 1Е + х2E2 +... .
Здесь по-прежнему координаты
х - m,... х -1, х о, х i, х 2... (1)
представляют собой ядра вещественных чисел. Наряду с переменными (1) удобно использовать также следующие переменные:
hm = х-mwm,... h 1 = х-1 w, х = х0,
Х1 = х 1 ^, Х2 = х2E2,... .
Тогда
X = hm +...+ h 1 + х + x 1 + x 2 +...+ xw + ...,
F(X) = f (hm,...hl, х, xl,... xw,...)-
Там, где возможно, индексы будем опускать, полагая
h 1 = h x 1 = x-
Таким образом, одна скалярная функция одного скалярного аргумента X свелась к функции многих переменных (2). Диапазон изменения каждой из переменных (2) строго ограничен. Поэтому для любого набора аргументов (2) их сумма (3) будет давать единственное значение переменной X.
Дальше воспользуемся аналогией, описанной в § 25. Продолжим функцию по каждой из переменных. По этим переменным функция непрерывна, и каждая из переменных может принимать любые значения, т.е. продолжение функции — это снятие ограничений на диапазон изменения компонент (3). Следовательно, на прямой ОХ продолженная функция становится бесконечнозначной. Например, значению F (1) соответствуют любые значения F(X) при X из набора
X = hm +... + h 1 + х + x1 +... = 1
В многомерном пространстве переменных (hm,...х, X1...) данная функция будет, конечно, однозначной. Примем, что функция является достаточно гладкой так, что интегралы от нее существуют. Рассмотрим основные варианты.
10. Положим х 1 = х 2 = ... = х w = ... = Ои зафиксируем значения х-m,...х-1. Теперь F — это функция одного аргументах. Интеграл от
b
нее jF(х-m,...х-1, х, 0, 0...)dx вычисляется по формуле Ньютона —
a
Лейбница. Значения х-m,...х 1 играют роль параметров. Аналогично вводятся интегралы по любой из переменных микро- или мегауровня.
20. Возьмем теперь функцию двух переменных, например переменных h и х. Все остальные аргументы зафиксируем и будем относить их к заданным параметрам. Функция F является непрерывной по х и h. По образцу § 32 в данной плоскости Oхh можно ввести двойные и криволинейные интегралы
jj Fdx dh, j Fdl, j Fdx + Fdh,
D AB AB
где D — область интегрирования, AB — дуга в области D, l — параметр дуги.
30. Аналогично можно ввести тройные и поверхностные интегралы, а также многократные и гиперповерхностные интегралы.
40. Так как число переменных неограниченно велико, нетрудно построить интегралы кратности w, w + 1,... w2, ... ww, ... v ....
Таким образом можно строить сколько угодно конструкций. Ясно, что выбор конкретных вариантов должен диктоваться соображениями, связанными с потребностями теории и приложениями.
Итак, мы видим, что методы классического анализа вычисления интегралов можно использовать и в неархимедовом анализе. Однако это возможно только для весьма узкого класса функций, а именно функций, которые фактически совпадают с функциями, заданными на обычной архимедовой прямой. Формальный признак таких функций состоит в том, что они являются непрерывными при переходе аргумента с одного масштабного уровня прямой на ее другие уровни, т.е. непрерывными по типу 1 (Lim-непрерывными). Этот случай рассмотрен в § 32. Интегрирование непрерывных продолжений функции также возможно в рамках классической техники. Данный случай рассмотрен в настоящем параграфе. Однако основной целью для нас является интегрирование самих функций, а не их продолжений. Причем типичной будет ситуация, когда непрерывность типа 1 уже не имеет места. Для таких случаев необходима разработка специальных методов интегрирования. Следующие три параграфа (§ 34-36) посвящены их описанию.
§ 34. Сведение задачи определенного интегрирования к решению двух вспомогательных задач
Теорема 34.1. Пусть некоторый интервал разбит на субинтервалы. Тогда вычисление интеграла по интервалу сводится к решению двух задач.
Задача А. Вычисление интегралов по субинтервалам.
Задача В. Решение разностного уравнения с известным краевым условием.
• Доказательство. Пусть G(a, b) — значение интеграла по промежутку (a, b). Способ вычисления интеграла пока не известен. Однако ясно, что для любой конструкции интеграла должно выполняться условие аддитивности: если 0 < g < b, то
Пусть интервал [a, b] разбит точками X1 ,X2,... Xn-1 на субинтервалы длиной DX. Тогда
Таким образом, задача интегрирования по интервалу [a, b] свелась к интегрированию по субинтервалам и суммированию полученных результатов. Вычисление суммы (1) равносильно решению уравнения (2) при заданном краевом условии [117]. Теорема доказана. ¦
В сущности, теорема является очевидной. Однако в дальнейшем она будет иметь большое значение. Ниже более удобными будут следующие обозначения. Для идентификации субинтервала достаточно указать его центр и длину. Положим
G (a, b) = G (a, g) + G (g, b).
