Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Функция С(р) включена в С(х, р), поэтому ниже положим с0 = с1 = ... = 0 и обратимся к системе (4). Ее замечательная особенность состоит в том, что в каждом из равенств все члены между собой подобны. Последнее означает очень многое. Коэффициенты, которые собираются в правых частях после приведения подобных членов, носят универсальный характер и от вида функции g^) не зависят:
0)(х) = к 0 j g^) dx,
аЛх) = к 1 • g^); а2(х) = к2 • g' (х), 03(х) = к3 • g"(х),...,
где
к0 = 1,
2!
к_ - к0_
2! 3!
к 2 - к_ - ^0
2! 3! 4!
к 3 - ^2 - к± - ^0
2! 3! 4! 5! ,
к 4 - - ^2 - h -
2! 3! 4! 5!
(5)
к 0 6!
2
3
4
Таким образом, окончательное решение уравнения принимает вид
Коэффициенты k0,k 1,k2,... представляют собой не что иное, как числа Эйлера [117]. Известно, что
при увеличении n.
Итак, число масштабных уровней (степеней р) в решении (6) зависит от числа ненулевых производных, которыми обладает функция g (х). При этом переход с одного масштабного уровня на другой управляется универсальной постоянной, равной 0,0253303... . Именно к этой постоянной стремится модуль отношения соседних коэффициентов в разложении (6).
Замечание 1. С точностью до обозначений полученное решение можно использовать для стыка любых пар масштабных уровней неархимедовой прямой.
Замечание 2. Во всех случаях вопрос о сходимости рядов должен рассматриваться отдельно.
Вычислим коэффициенты (5) и подведем итог. Решение уравнения
k 3 = k 5 = k 7 =... = 0
и
^ ^ - J- * - 0,0253303...
k2n 4л2
имеет вид
F(x, p) = Z li (p)Y (x, p),
где
Y (x, p) = jgi (x)dx - 1 pgi (x) + p2gJ(x) -
J 2 12
- 7^ P4gi"(x) + 3,307-10-5 p6g(5)(x) -
- 8,267 -10-7 p8g(7)(x) + 2,088 -10-8 p10g<9)(x) -
- 5,284 -10-10 p 12g(11) (x) + 1,338 -10-11 p 14g(13)(x)
-3,390 -10-13p 16g(15)(x) +... + Ci(x,p).
Здесь С (х, р) — произвольная функция с периодом р: с (х + р, р) = Ci (х, р).
Отношения соседних коэффициентов в данном разложении равны:
= 8,333 • 10-2; k- = -1,667 • 10-2; = -2,381 • 10-2;
к
0
к
2
к
4
к8 = -2,500 • 10-2; к10 = -2,525 • 10-2; ^ = -2,531 • 10-2. к6 к8 к10
Примеры.
10 Ф(х + р. р) - Ф(х, р) = ^(р) р ’ Ф(х, р) = 1 (р)х + C (х, р).
20. ф(х + р,р) - ф(х,р) = ^(р) ^, р
Ф(х, р) = 1(р)
х
2
+ C (х, р).
30. Ф+ р,р) - Ф(х,р) = ^(р) ^ 2, р
Ф(х, р) = 1(р)
32
х р 2 р
— - — х 2 + — х
3 2 6
+ C (х, р).
-0. Ф(х + р, р) - Ф(х,р) = 1(р) х
р
Ф(х, р) = 1(р)
х4 р 3 р2 2
— - - х3 + — х2
4 2 4
+ C (х, р).
Итак, выше в § 34, 35 рассмотрены вспомогательные формулы, которые потребуются для вычисления интегралов от функций, разрывных на стыке различных масштабных уровней. Далее рассмотрим еще одно вспомогательное понятие — понятие точки горизонта.
§ 36. Концепция точки горизонта
В обычной жизни точка горизонта — это точка, где «небо смыкается с землей». Наши наблюдения «земли» простираются только до точки горизонта. А что дальше? Логично было бы считать, что раз
«небо смыкается с землей», то дальше начинается новая реальность, именуемая «небом». И эта новая реальность для наблюдений с «земли» — закрыта.
Когда мы размышляем о проблемах бесконечности, то сталкиваемся с нечто подобным. Пусть область конечных вещественных чисел — это «земля» и нам доступно любое конечное число. Но ведь на прямой есть и точка «бесконечность»! Она является вполне реальной и создана из того же самого материала, что и конечные вещественные числа. Как можно представить себе переход от конечных чисел к бесконечности? Реальный опыт учит нас, что любой переход в новое качество, в новую реальность всегда совершается скачком. Например, переход «гусеница — кокон — бабочка». Этот переход совершается в интервале, который и для гусеницы, и для бабочки является точкой горизонта, разделяющей реальности разного плана. Можно предположить, что подобная точка разделяет также и области конечного и бесконечного.
Концепция точки горизонта.
Точка горизонта — это точка, где смыкаются области конечного и бесконечного. Точка горизонта относится к области конечного, если она рассматривается из области конечного; точка горизонта относится к области бесконечного, если она рассматривается из области бесконечного (рис. 8.2).
Это, конечно, не определение, а именно концепция. Но она дает вполне конкретный вклад в аппарат математического анализа. Отсюда нетрудно дать и определение точки горизонта как инструмента исследований.
Определение 36.1. Точкой горизонта будем называть обозначенный интервал, границы которого принадлежат к различным масштабным
