Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
1023 со со+1 со+п
Н------1-----1-------1----1....................................1---------------1--------
О 1 2 Н- Н+ X
уровням числовой области. Выбор границ интервала зависит от специфики поставленной задачи.
Согласно определению, точка горизонта — это интервал. Обозначим его как (Н-, Н+) и будем называть также зоной перехода между масштабными уровнями. Границы интервала можно выбирать из различных соображений. Например, может оказаться, что представляют интерес только приращения функции при переходе ее через данный интервал. При этом внутри интервала функция может быть даже не определена. Ничто не мешает также рассмотреть некоторую последовательность точек горизонта (Hn, Н). Наибольший интерес представляет случай, когда Н- и Н выбираются так, чтобы
ыш(н; - Hn) = 0.
n^w
В этом случае можно говорить как о точке горизонта, так и о зоне контакта или контакте между различными масштабными уровнями.
Из определения видно, что понятие точки горизонта не является однозначно заданным. Но такое же обстоятельство имеет место и в реальной жизни. Горизонт, который мы наблюдаем с высоты собственного роста, — это одно, а горизонт с высоты птичьего полета — это совсем другое.
Рассмотрим для примера точку горизонта, которая разделяет вещественный масштабный уровень и первый мегауровень (рис. 8.3).
Пусть мы находимся в точке X = 0 неархимедовой прямой ОХ. Предположим, что при движении в положительном направлении точка горизонта достигается на расстоянии q от нуля. Ради общности предположим, что при движении в отрицательном направлении точка горизонта может оказаться на другом расстоянии от нуля. Обозначим данное расстояние через р. Если p = q, то можно сказать, что прямая в этом смысле является изотропной. В противном случае мы имеем анизотропную прямую, например прямую с параметрами q = 100, p = 50.
Начнем по такой прямой движение вправо из точки X = 0. Достигнув значения х = 100, мы затем пересекаем точку горизонта и попадаем на первый мегауровень, например в точку X = 2w - 50. По-прежнему считаем, что средство нашего передвижения по оси
HIj -------->Нд н^
-----)• • • -----*---------)........(-----*----------)......{----->
-50 0 100 2ю-50 2ю 2ш+100 X
ОХ позволяет смещаться на расстояния, равные ядрам конечных вещественных чисел. Кроме того, мы непосредственно воспринимаем только конечные расстояния. Таким образом, область доступности теперь простирается от точки X = 2w - 50 до X = 2w + 100. При X = 2w + 100 мы пересекаем новую точку горизонта и т.д. Аналогичную картину будем иметь и при движении в отрицательном направлении вдоль оси ОХ.
В заключение отметим, что вопрос о контакте областей конечного и бесконечного уже поднимался в § 15. Там было показано, что контакта, который представлял бы собой точную грань, не существует. В настоящем параграфе тот же результат сформулирован позитивно: точной грани нет, но вместо нее есть точка горизонта, которая представляет собой определенный интервал. Данный интервал и есть контакт областей с разными масштабными уровнями, например контакт между вещественным и первым мегауровнем (это области конечного и бесконечного), между первым и вторым мегауровнями, между вещественным и первым микроуровнем и т.д.
Введенное понятие точки горизонта (его модель изложена в п. 2 § 24) близко к аналогичному понятию альтернативной теории множеств П. Вопенки [62]. В альтернативной теории множеств понятие горизонта является ключевым. В неархимедовом анализе оно с необходимостью появляется в теории определенного интеграла.
§ 37. Определенные интегралы от функций, разрывных на стыке двух масштабных уровней неархимедовой прямой
Постановка задачи. Рассмотрим теперь основной случай, когда непрерывность функции между различными масштабными уровнями нарушается. В классическом анализе аналога такого рода разрывов нет. Поэтому по аналогии действовать нельзя и необходим поиск специальных методов. Предположим, что функция Y = F(X) определена только на первом мегауровне, вещественном уровне и любых микроуровнях. Например, F определена при |Х|< 10w. Это значит, что второй и последующие мегауровни можно не рассматривать. Пусть
X = х-1 w + х = h + х, h = х-1 w. (1)
Здесь по-прежнему х-1 — ядра вещественных чисел, а х — переменная, которая пробегает ядра вещественных чисел и все промежуточные микроуровни. В техническом отношении это означает, что при-
ращение |Дх| может быть сколь угодно малой величиной. Например, возможно, что |Дх |< E,...Ew,... и вообще |Дх |< 1/v, где v — любое число из продолженного натурального ряда. (Ниже черту в обозначении х будем опускать.) Напротив, приращение | Дх-1| может быть меньше, чем 1/п, где п — любое число из обычного натурального ряда 1, 2, 3.... Однако меньше, чем E,E2..., приращение |Дх-1| быть уже не может. Значит, возможно, что | Дц | < w / п для любого п, но |Дц|< 1, E, E2,... уже невозможно.
