Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Теперь о функциях, которые являются разрывными на стыке различных масштабных уровней, т.е. разрывными по типу 1. Здесь возможны различные конструкции интегралов, которые будут удовлетворять условию согласованности. Определенный интеграл — это инструмент для решения задач. Следовательно, выбор конструкций интеграла должен диктоваться потребностями приложений и теории.
Сформулируем общую концепцию определенного интеграла.
§ 31. Концепция определенного интеграла
Концепция. В качестве отправной возьмем концепцию интеграла по Риману. Согласно данной концепции, определенный интеграл представляет собой предел специальных сумм, в которых фигурируют значения заданной функции в различных точках, принадлежащих интервалу интегрирования. В результате показывается, что данный предел сводится к разнице значений первообразной от заданной функции (формула Ньютона — Лейбница).
Указанную цепь рассуждений можно обратить. Формулу Ньютона — Лейбница можно взять в качестве исходной посылки и затем уже дать ей интерпретацию как формуле для вычисления пределов специальных сумм. Именно в таком обращенном виде классическую концепцию интеграла можно перенести на многомасштабную неархимедову прямую.
Пусть X и Y — переменные, принадлежащие существенной прямой, а Y = F(X) — некоторая функция. Наряду с функцией F(X) будем использовать еще одну функцию, зависящую от двух переменных:
J(X, X') = F(X') - F(X).
Функция J(X, X') представляет собой приращение Ф на отрезке [X, X'].
Пусть a, b — две фиксированные точки в области определения функции. Разбиением ^(n) назовем совокупность n точек
ВД = {X0(n),X1(n),...X n (n)} (1)
таких, что для любого n
X0(n) = a, X n (n) = p, X0 < X1 < X2... < X n.
Запишем следующее алгебраическое тождество:
J(a,p) = Ф(р) - F(a) = [F(Xn) - Ф(Xn-1)]+... +
+ [Ф(Xj, 1) - Ф^j)] + ... + [Ф^) - ФВД].
Здесь все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются. Каждую из разностей Ф^j+1) - Ф^j) умножим и разделим на одно и то же число, например на число X j+1 - X j .В результате получим
J(a, b) = Ф(Р) - Ф(a) = Ф(^п) - Ф(Xn-1) (Xn - Xn-1) +
X n X n-1 (2)
+ ... + Ф(x.1) - Ф(Xj) (Xj, 1 - Xj)+...+ Ф(у - Ф(X0) (X1 - X0).
Xj+1 - Xj X1 - X0
Левая часть тождества от числа n и от вида разбиения (1) не зависит. Ее предел — это предел стационарной последовательности. Значит, в любых смыслах (Lim, limit и любой их комбинации) предел всегда будет равен Ф (Р) - Ф^).
Некоторые слагаемые в тождестве (2) можно записать в виде
Ф(Xj+1) - Ф^j)
X j+1 - X j Тогда при
¦(Xj - Xj) = Ф^j+1) - Ф^j) = J(Xj+1, Xj). (3)
|Xj+1 - Xj|— 0, Xj — g, Xj+1 — g
данное слагаемое будет стремиться к разрыву (скачку) функции Ф в точке X = g. Имеет смысл также случай, когда слагаемое записано в форме (3), но разность |Xj+1 - Xj| к 0 не стремится. Например,
X j — g, X j+1 — d, g ^ 5.
В этом случае слагаемое (2) будет стремиться к скачку функции Ф при переходе аргумента от точки g к точке 5:
J(g, d) = F(d) - F(g).
В промежуточных точках функция может быть и не определена. Главным здесь является то обстоятельство, что тождество (2) будет верным во всех случаях.
Суммы вида (2) будем называть интегральными. Пусть число слагаемых в правой части (2) неограниченно увеличивается. Тогда предельное значение суммы будем рассматривать как определенный интеграл от соответствующей функции.
Не будем исключать также случаи, когда число слагаемых в правой части задано из дополнительных условий. Здесь уже само значение интегральной суммы будем рассматривать как определенный интеграл.
Таким образом, мы принимаем следующую концепцию определенного интеграла.
Концепция определенного интеграла.
Определенным интегралом будем называть левую часть тождества вида (2) при условии, что количество слагаемых в правой части либо задано, либо неограниченно увеличивается. При этом каждое из слагаемых стремится либо к производной в том или ином смысле, либо к некоторому скачку (разрыву) функции. Выбор типов предельных переходов и свободных параметров, фигурирующих в тождествах, определяется из дополнительных соображений прикладного или иного характера. Данный выбор определяет интерпретацию тождества. Интерпретация — это соглашение о том, что тождество представляет собой формулу для вычисления определенного интеграла от некоторой функции.
Принятая концепция означает, что при построении любых конструкций определенных интегралов мы всегда будем стоять на твердой почве заведомо верных тождеств. Поэтому у нас всегда будет выполняться формула, аналогичная формуле Ньютона — Лейбница.
Таким образом, проблема определенного интегрирования свелась к следующему:
10. Выбору подходящего класса функций, для которых возможна та или иная конструкция определенного интеграла.
