Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
0(a, DX) = 0.
Тогда
X'
j F(X, DX)DX = Ф (X', DX),
o
где X' / DX — целое число.
Ниже в качестве рабочего варианта будем использовать запись уравнения в форме (8).
Подведем итог.
10. Если функция F(X, DX) такова, что F (X + DX, DX) - F (X, DX)
DX
= F
X + —, DX
2
(10)
при
то
X = Xo = a,Xi,X2,...X„-1 = b - DX,
(n) j F(X, DX) DX = F
F Г DX A D a + 3 DX, DX^ +
a + ---, DX X
+
F
I 2 j I 2 ’ j
+... + F|p - DX, DXjDX = F(b, DX) - F(a, DX).
20. Разностный оператор и оператор суммирования являются взаимно обратными:
(n)
DX Г DX Л 1
DX - F X - ---, DX
2 j I 2 j
DX
DX = F(p, DX) - F(a, DX).
Примеры.
1. Функция F(X, DX) = F(DX) оператором (6) воспринимается как постоянная:
P
j F(DX)DX = F(DX)(b - a).
В частности, j DX = b - a, j (DX)DX = DX(b - a),
2. j 3X2DX = X3 - -X(DX)
J 4
a
P
3. j
p
j (DX)2 DX = (DX)2(b - a).
a
3 1
4
P
3X2 + -(DX)2
DX = X
31P
где, как обычно, f (X)| = f (P) - f (a).
a
a
a
a
a
a
§ 32. Определенные интегралы от непрерывных функций
Рассмотрим класс функций, которые являются непрерывными. Пусть v — некоторое число из продолженного натурального ряда, v(n) — приближение v; v (n) — обычное натуральное число. Например, если v = wW, то v (n) = nn. Если промежуток [a, Р] можно разбить на n частей, то его, конечно, можно разбить и на v (n) частей. Тогда
AX = AX(v (n)) = .
v (n)
Перейдем к пределу Lim при n — w. Предел обозначим как AX(v) = Lim AX(v (n)) = .
n— w v
Теперь можно воспользоваться инструментом предельного перехода limit при v — от. Ясно, что
limit AX(v) = limit Lim AX(v (n)) = limitР—a = 0.
v ——от v——от n—w v—-от v
Более краткая запись следующая: AX — 0.
Определение 32.1. Если при DX — 0 предел суммы (6) § 31 существует, то данный предел будем обозначать как Р Р
limit Lim [ F(X, AX)DX(v (n)) = [ F(X) dX (1)
v ——от n—W J J
aa
и называть интегралом от F(X).
Здесь под F (X) понимается предел
limit F (X, AX) = F (X).
AX—0
Аналогично считается, что
limit F(X, AX) = F(X).
AX—0
Предполагается, что все указанные пределы существуют. Кроме того, предположим, что существует предел левой части (7) § 31 и что он равен F'(X). В результате получим
Р
j F(X)dX = Ф(Р) - F(a), (2)
a
где
dF(X) = f (X). dX
То есть мы пришли к формуле Ньютона — Лейбница.
Отметим, что выше мы оперировали только равномерными разбиениями интервала интегрирования и фиксированным способом выбора точек (5) § 31, фигурирующих в формулах для интегральных сумм. В определении же интеграла Римана вводится условие о независимости предела от способа разбиения области интегрирования на интервалы, а также условие независимости от выбора соответствующих точек внутри интервалов. В случае необходимости все рассмотренные определения и формулы можно дополнить аналогичными указаниями.
Таким образом, принятые процедуры построения определенного интеграла условию согласованности удовлетворяют. Для класса функций, которые фактически совпадают с функциями классического анализа, имеет место формула Ньютона — Лейбница. На данный класс функций переносится вся техника интегрирования [116], включая процедуры перехода к несобственным интегралам от -да до + да. Отличие состоит только в том, что во всех выкладках наряду с конечными числами теперь могут фигурировать числа w и E = 1/w.
Примеры. Прежде всего сделаем предельные переходы в примерах § 31:
Р Р
j dX = - - а; j 3Х2dX = X3
Второй пример совпал с третьим. Далее,
Р х w+^
f X w dX = х—
а w+1
-
а1
dX
X
= да.
а
а
§ 33. Определенные интегралы от непрерывных продолжений разрывных функций
Предположим, что при переходе с одного масштабного уровня на другой функция может быть разрывной. Рассмотрим различные непрерывные продолжения функции. Данные продолжения будут уже функциями непрерывными. Интегралы от них можно вычислять по формуле (2) § 32. В некоторой степени данные интегралы характеризуют исходную функцию и могут быть полезными.
