Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
X п
Определение 29.2. Если производная типа 1 в точке X не зависит от пути X n, ведущего точку X, то будем говорить о производной типа
1 от F(X) в точке X.
Здесь нет указания на путь X n.
Свойства производных типа 1. В теории функций вещественного переменного производная вводится как предел отношения
f' (х) = lim ^ = lim f (x + Ах) - f (х).
Ах ^ 0 Ах Ах ^ 0 Ах
При этом выполняются два равенства:
lim Ах = 0, lim Ау = 0.
Ах ^ 0 Ах ^ 0
Большинство теорем дифференциального исчисления доказывается исходя только из указанных равенств и арифметических свойств предела lim. Для Lim-производных имеют место те же самые арифметические свойства предела, что и для lim и, кроме того, те же самые равенства (2).
Поэтому на производные типа 1 переносятся все соответствующие свойства обычных производных. Например, возьмем производную от произведения функции F(X), G (X):
Lim(F+AF^+AGbF.G = fDG + gDF + Lim .
n ^ w АX n DX DX n >w ДХ n
Далее,
Lim ^ АX n = Lim АX n = 0.
n^ w АX n АX n n DX DX n^ w n
Таким образом, мы приходим к обычной формуле для производной произведения.
Неопределенные интегралы типа 1. Пусть F(X) и F(X) — две функции, определенные в области существенных чисел, и пусть Xn — некоторая счетная последовательность, сходящаяся к точке X: LimX n = X. Предположим, что функция F(X) имеет Lim-производную в точке X по пути X n.
Определение 29.3. Если производная типа 1 от F(X) в точке X по пути X n равна F(X), то F(X) называется первообразной типа 1 от функции F(X) по пути Xn:
Lim Ф (X) - F(X n > = F(X). (4)
n X - X n
Пусть F (X) = 0. Тогда
F(X n) = F(X) = const.
Следовательно, первообразная вычисляется с точностью до функции, принимающей постоянное значение в точках последовательности Xn, а также в предельной точке X данной последовательности. В остальных отношениях данная функция может быть совершенно произвольной.
Определение 29.4. Совокупность первообразных (4) будем называть неопределенным интегралом типа 1 от F(X) в точке X по пути Xn, или интегралом на стыке соответствующих масштабных уровней. Обозначение следующее:
F(X) = (Xn, X)jF(X)DX.
§ 30. Производные и неопределенные интегралы вдоль фиксированного масштабного уровня неархимедовой прямой
Рассмотренные выше производные и неопределенные интегралы типа 2 полностью аналогичны производным и неопределенным интегралам классического анализа. В противоположность этому производные и интегралы типа 1 аналогов в классическом анализе не имеют. Они связаны исключительно с многомасштабностью неархимедовой прямой и служат инструментом для описания связей между различными масштабными уровнями неархимедова пространства. Однако для постановки и решения конкретных задач данных инструментов исследования еще недостаточно. В настоящем параграфе рассмотрим ряд новых понятий, которые существенно расширяют возможности теории.
Существо дела лучше всего пояснить на примере. Пусть y = f (x) — обычная функция действительного переменного. Используя идею построения функции Дирихле, положим
.. . |x2 при х рациональном,
f (x) = 1 3
|1 + х при х иррациональном.
Ясно, что производной этой функции не существует нигде. Более того, функция в каждой точке является разрывной. Конечно, никакой реальный процесс такая функция описывать не может. Но можно допустить некоторую воображаемую ситуацию, где эта функция все же имеет смысл. Нетрудно допустить также существование двух разных наблюдателей, для первого из которых доступны наблюдения только в рациональных точках, а для второго — только в иррациональных точках. Тогда первый наблюдатель констатирует равноускоренный рост
функции со скоростью 2х. Второй же наблюдатель констатирует скорость 3х2. Наша задача состоит в том, чтобы найти формальные процедуры для получения подобных характеристик. Ясно, что вначале необходимо непрерывно продолжить функцию f с рациональных точек на все остальные точки. Затем продолжить функцию по непрерывности с иррациональных точек. В результате получим двузначную функцию, причем каждая из ее ветвей будет функцией гладкой. Дифференцируя ветви, получим необходимый результат.
Для функций, заданных на обычной действительной прямой, такая задача выглядит довольно искусственной. Ее искусственность связана с одномасштабностью прямой. Если х — это время и некоторый наблюдатель живет на вещественном масштабном уровне времени, то для него все точки (рациональные и иррациональные) являются одинаково доступными. Напротив, при переходе к неархимедовой прямой мы попадаем в область, содержащую иерархию масштабных уровней.
Например, пусть
X(T) = 2t-1 w + t2 - t2E2 (1)
— смещение точки, а T = t-1 w + t0 + t1E— неархимедово время. Причем t-1 w — это время масштаба типа галактического года (геологический масштаб времени), t0 — вещественный масштабный уровень времени, а t1E— первый микроуровень. Наличие наблюдателя, который живет на вещественном масштабном уровне и не воспринимает галактическое и микровремя, представляется довольно естественным. Именно такая ситуация соответствует реальному положению вещей. Точнее, предположим, что нам непосредственно доступен только вещественный масштабный уровень времени и пространства, а о галактическом или о микровремени мы можем судить только косвенно. Поэтому основная задача теории состоит в том, чтобы посмотреть, как законы, скрытые на мега- и микроуровнях, могут проявляться на вещественном масштабном уровне.
