Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
f (z, t) = z2 + 10 ~5sint. (2)
Вариант 10. График функции (2) воспринимается как квадратная парабола
f (z,0) = z 2. (3)
Так как о масштабе {x} = t ничего не известно, то принимаем, что равенство (3) верно при любом сколь угодно малом приращении z. Отсюда для определенного интеграла получаем формулу
z z 3
J1 =1 f (z,0) dz = V.
03
Вариант 20. Здесь мы не знаем величины масштаба {x}. Это значит, что мы не знаем до каких пор можно уменьшать Dz в формуле
(3). С другой стороны, мы знаем, что помимо зависимости (3) есть зависимость (2). Поэтому нам ничего не остается, как принять сле-
дующее: в каждой точке z есть еще одно измерение t «вглубь». Вдоль этого измерения действует свой закон изменения f. Например, если f — это распределенная масса, то можно считать, что около каждой точки z вдоль измерения t распределена дополнительная, скрытая масса. В такой постановке для оценки общей массы можно использовать повторный интеграл
z t
J 2 = 1 dz 1 f (z, t) dt.
0 0
В случае необходимости можно привлечь также криволинейные интегралы обоих типов:
J' f (z(s), t(s))^(t' )2 + (z' )2ds,
s1
Jf (z, t)dt; Jf (z, t)dz, Jf (z, t) dt + f (z, t) dz.
AB AB AB
Здесь t(s), z(s)s 1 < s < s2 — параметризация кривой AB в плоскости Ozt. Вопрос о применении последнего интеграла рассмотрим ниже.
Вариант 30. Как и прежде, предположим, что известно поведение функции при t = 0, т.е. известны значения f (z, 0). Пусть известен также факт наличия масштаба {х}. Для примера (3) это означает, что хотя график функции и воспринимается как квадратная парабола, но тем не менее известно, что закон (3) имеет место только для конечного шага по z, равного 1. В этом случае в качестве интеграла можно вычислять сумму по дискретному набору значений аргумента z:
J з = If (l,0).
l=0
Вариант 40. Предположим, что известны и величина масштаба {х}, и поведение функции на этом масштабе. Классическое выражение для интеграла дается формулой (1). Здесь же мы рассмотрим эквивалентный способ вычисления интеграла Римана, который можно интерпретировать как некоторую модель неархимедова случая.
Пусть требуется найти интеграл от F(х) по интервалу [0,х0]. Значение интеграла по интервалу [a, b] обозначим как G(a, b). Пусть z0 и t0 — целая и дробная части х0:х0 = z0 + t0. На прямой Ох выделим два уровня доступности. Разобьем интервал интегрирования на субинтервалы
[0,1], [1,2],...[z0 - 1, z0]; [z0, z0 + t0]. (4)
Теперь задача интегрирования свелась к решению двух задач: 1) вычислению интеграла по каждому из субинтервалов и 2) суммированию полученных значений.
Задача 1. Пусть х = 0 — точка горизонта на интервале [0, 1] (0 = 0,9, например). Интеграл от нуля до х = 0,9 вычисляется обычным образом. В зоне перехода [0,9; 1] могут иметь место особые условия, которые должны учитываться при подсчете интеграла. Необходимо предположить, что перечень таких условий задан и достаточен для вычисления величины G(0,9; 1). Аналогичная ситуация будет и на других субинтервалах. Таким образом, можно считать, что интегралы по интервалам [z, z + 1] вычислены и равны
0
J f (z, t)dt + G(z + 0, z + 1).
0
t0
Для последнего интервала из списка (4) имеем: J f (z0, t)dt, если
0
t0 < 0. Если t0 > 0, то к указанному интегралу добавляется слагаемое G(z0 + 0, z0 + t0).
Задача 2. Суммирование по интервалам (4) равносильно решению разностного уравнения
0
G(0, z + 1) - G(0, z) = J f (z, t)dt + G(z + 0, z + 1).
0
Правая часть и начальное условие G(0,0) = 0 известны. Если в зоне перехода особых условий не ставится, т.е. имеет место равенство вида
1
G(z + 0, z + 1) = J f (z, t)dt,
0
то описанный выше интеграл совпадает с интегралом Римана. Подробнее этот вопрос рассмотрен в работе [18]. Таким образом, для вычисления интеграла Римана достаточно найти интегралы по субинтервалам и просуммировать их путем решения соответствующего разностного уравнения. Именно в такой форме процедура интегрирования допускает обобщение на неархимедов случай.
При построении неархимедовых интегралов можно будет использовать еще одно истолкование интеграла Римана. Мы хотели бы «расщепить» одномерную область интегрирования по х на два измерения z и t, каждое из которых соответствует своему масштабу аргумента х. Тогда интеграл Римана по х = z + t можно будет свести к
