Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
о
L
(8)
о
D v9z StJ
(9)
Sf (z, t) ^ Sf (z, t)
dz St
Глава 7 Производные и неопределенные интегралы
В классическом анализе есть только один тип бесконечно малых, поэтому и производные относятся только к одному типу. В неархимедовом анализе есть два типа бесконечно малых. В соответствии с этим возможны и два типа производных и неопределенных интегралов. Перейдем к их описанию.
Пусть Y = F(X) — некоторая функция переменной X. Образуем новую функцию двух переменных
р(X,X0) = F(X°) - F(X), X * X0.
X0 - X
Различные пределы данной функции при X — X0 будем называть производными F(X) в точке X0, дополняя это название соответствующими указаниями на характер предела.
§ 28. Производные типа 2 — локальные производные. Неопределенные интегралы типа 2
Производные типа 2. Пусть X0 — фиксированная точка области определения функции F(X) и limitXv = X0.
V—ot
Определение 28.1. Если существует предел limit р (Xv, X0)
V——от
и его значение одинаково для любых несчетных последовательностей Xv — X0, то будем говорить, что функция F(X) имеет в точке X0 производную типа 2, или функция локально-дифференцируема (limit-дифференцируема) в точке X0. Значение предела будем называть локальной производной F(X) по X в точке X0, или производной типа 2, и обозначать как
F'(X0), FX(X0), ^. (1)
dX
Операцию отыскания производной назовем дифференцированием.
Как отмечалось, предел в смысле limit аналогичен пределу lim классического анализа. Такая же аналогия будет и для производной (1). Это означает, что в неархимедову область переносятся все формулы дифференцирования и, более того, весь аппарат классического дифференциального исчисления. Различие будет состоять только в том, что теперь в формулах может фигурировать символ w.
Примеры:
(X2)' = 2X; (Xw)' = wXw-1,
(sinwX)' = w coswX.
Неопределенные интегралы типа 2.
Определение 28.2. Если функция F(X) такова, что
dFX) = f (X), dX
то F(X) будем называть первообразной типа 2 от F(X). Совокупность первообразных будем называть неопределенным интегралом типа 2 и обозначать как
F(X) = (2) J F (X) dX.
Везде в скобках перед знаком интеграла указываются символы, уточняющие смысл интеграла. Там, где возможно, данные символы опускаются. Так как производная (1) аналогична производной классического анализа, то аналогия будет иметь место и для интегралов типа 2.
Примеры:
у3 v- w+1
JX2dX = — + C; JXwdX = X— + C,
J 3 J w + 1
J (sinwX) dX = - Ecos wX + C, C = const.
§ 29. Производные типа 1 — производные на стыке двух масштабных уровней. Неопределенные интегралы типа 1
Определение производной типа 1. Пусть X0 = w иX n = n. Следовательно, X0 будет предельной точкой Xn в смысле Lim, т.е. w = Lim n:
Подсчитаем среднюю скорость изменения функции на интервале (n, w). Его длина равна AXn = X0 - Xn = w - n. Средняя скорость
F(X0) - F(Xn) = F(w) - F(n) (1)
X0 - Xn w - n '
Видно, что интервал AXn покрывает зону перехода от вещественного масштабного уровня прямой до ее первого мегауровня. Чем больше величина n, тем длина этой зоны меньше. Но в любой фиксированный момент n длина (w - n) — бесконечно велика. Есть только единственный способ свести зону перехода к зоне контакта — это применить к равенству (1) операцию предельного перехода Lim. Пусть по-прежнему AXn и AYn — приращения аргумента и функции:
AXn = X0 - Xn, AYn = F(X0) - F(Xn).
Запишем два равенства:
Lim AX n = 0, Lim AYn = 0. (2)
Если из первого равенства следует второе, то F(X) является функцией, непрерывной в точке X0 по пути X n на стыке двух масштабных уровней. Для таких функций можно ввести характеристику, имеющую смысл скорости изменения функции на стыке двух масштабных уровней.
Определение 29.1. Если X0 = Lim Xn и предел счетной последовательности существует
Lim р (X n ,X0) = DF n DX
(3)
то будем его называть производной типа 1 от F(X) в точке X0 по пути Xn, или производной на стыке масштабных уровней Xn и X0, или Lim-производной.
Указание на путь и характер производной будем иногда опускать. Операцию взятия производной назовем диффенцированием типа 1, или дифференцированием в зоне перехода между масштабными уровнями. Производная (3) представляет собой скорость изменения функции при переходе с масштабного уровня переменной Xn в точку масштабного уровня X0. На этом основании о величине (3) можно говорить как о скорости перехода с уровня Xn на уровень X0 либо как о скорости изменения функции на стыке двух масштабных уровней.
