Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
• Доказательство. Предположим, что указанным условиям отвечают две различные функции F1(X) и F2(X). Пусть F (X) = = F1(X) - F2(X). Функция F(X) является непрерывной (это легко доказать) и, кроме того, в рациональных точках F(г) = 0. Предположим, что аргумент X есть некоторое элементарное число A = Lim rn. Из непрерывности функции по типу 1 следует, что n—“
Возьмем некоторое существенное число X е D, которое является пределом элементарных чисел Av:
X = limit Av.
Таким образом, для любого X имеем F(X) = 0и, значит, F1(X) = F2(X). Теорема доказана. ¦
Далее, для функций, непрерывных в смысле классического анализа, имеет место теорема Больцано — Коши. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и f (a) < 0, f (b) > 0, то найдется точка с е [a, b] такая, что f (c) = 0. Это, пожалуй, главное свойство, которое дает нам неформальное, интуитивное понимание непрерывности. Причем непрерывности не только графика y = f (x), но и непрерывности самого отрезка [a, b]. Тот факт, что всегда найдется точка пересечения графика и отрезка означает отсутствие на них вакансий. Функции, которые мы назвали непрерывными в неархимедовом анализе, обладают аналогичным свойством.
Теорема 21.2. Пусть функция Y = F(X) является непрерывной на отрезке неархимедовой прямой [a, b]. Если F(a) < 0, F(b) > 0, то всегда найдется точка g, в которой F(g) = 0. При этом точка g может принадлежать отрезку [a, b], но может и не принадлежать ему.
• Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что a = 0, b = 1. Пусть X = г — рациональные значения аргумента.
Из непрерывности F по типу 2 заключаем, что
/
F(X) = F limitAv = limit F(Av) = 0.
v—OT v—OT
\
/
Случай 1. Предположим, что функция такова, что ее значения в рациональных точках представляют собой рациональные числа. Запаса рациональных чисел вполне достаточно, чтобы к функции F(r) можно было применить процедуру деления отрезка пополам.
1'
Возьмем точку X = —. Если F
2
2
= 0, то теорема доказана. Если
1
11
< 0, то положим a1 = —, в противном случае положим P 1 = — и
т.д. В результате придем к последовательности отрезков
0 < a 1 < a2 <...< an <.< Pn <...< P2 < P1 < 1
таких, что для любого n = 1, 2, 3,...
F(an) < 0, F(рn) > 0. (1)
При этом для любого натурального числа М можно найти такое N, что для n > N
P n _ an < 1/M.
Возьмем теперь некоторое число v = Lim v (n) из продолженного на-
ni w
турального ряда. Из последовательностей an, P n выберем подпоследовательности av(n), P v(n). Заменим в неравенствах (1) индекс n на v(n) и перейдем к пределу Lim при n i w. В результате получим
F f Lim av(n) 1 < 0, F f Lim P vW 1 > 0. (2)
V ni w 1 V niw 1
Переходить в неравенствах к пределу Lim, вообще говоря, нельзя. Например, для любого n = 1,2,3... имеют место неравенства (1/ n _ 10E) > 0. Но, тем не менее, Lim(1 / n _ 10E) = _9E < 0. Однако в
ni w
рассматриваемом нами случае, когда значения F(r) — это рациональные числа, переход к пределу в неравенствах возможен.
Последовательность отрезков [av, P v ] является стягивающейся. Пусть
g = limit av = limit P v.
vi® vi®
Перейдем в неравенствах (2) к пределу limit при v i ®. В результате получим
F (g) = 0.
Теорема для случая 1 доказана. Кроме того, можно утверждать, что в случае 1 точка g е [a, P], так как по построению g является ядром обычного вещественного числа, равного lim an = lim P n.
ni® n ni® n
Случай 2. Пусть в рациональных точках значения F представляют собой определенные элементарные числа
F (r) = Lim fm(r).
m—w
Тогда начиная с некоторого m
fm (0) < 0, fm (1) > 0.
Для фиксированного m мы попадаем в условия случая 1. Заменим g на g m и запишем
F (g m) = 0.
Пусть Lim g m = g. Перейдем к пределу Lim при m — w и воспользуем-m— w m
ся непрерывностью F. В результате получим
Lim F (g m) = F Г Lim g = F (g) = 0.
m— w Vm—w у
Теорема для случая 2 доказана.
Теперь, однако, нельзя утверждать, что точка g обязательно принадлежит отрезку прямой [a, b]. Например, для функции
F(X) = X - Ew, F(0) < 0, F(1) > 0, F(Ew) = 0
точка g = Ew принадлежит отрезку [0,1], а для функции
F(X) = -1 + [3 + (-1)w]X, F(0) < 0, F(1) > 0, F (1/(3 + (-1)w)) = 0 (3)
точка g = (3 - j) 1 отрезку [a, b] уже не принадлежит. Последнее связано с тем, что сами значения функции F(X) выходят за пределы существенной прямой OY. Неформально об этом случае можно сказать так. Рассматривая аналитическое выражение (3) для линейной функции F(X) и представляя себе ее график в многомерном числовом пространстве, у нас нет никаких сомнений в том, что тип графика полностью согласуется с нашими представлениями о непрерывности. При этом график не имеет общих точек с отрезком [a, b] не потому, что сам график или отрезок [a, b] имеют какие-то купюры, а только потому, что в многомерном числовом пространстве график «обходит» отрезок [a, b] и не пересекает его. Иными словами, из точки, где F < 0, в точку, где F > 0, график F(X) проходит мимо отрезка [a, b].
