Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
1,2,3,... от. (3)
Многоточия обозначают упомянутую выше особую зону. Поэтому можно сказать, что переход к пределу х = от — это всегда прыжок через «многоточие», через особую зону перехода.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу. Для функций классического анализа имеют место два различныгх определения их непрерывности.
1. Определение первого типа относится к понятию непрерывности в конечных точках. Оно дается равенствами (1).
2. Определение второго типа относится к понятию непрерывности в бесконечно удаленной точке. Оно дается равенствами (2).
Условия (1) относятся к точкам одного и того же масштабного уровня действительной прямой. И эта ситуация является типичной. Условия же (2) относятся к точкам разных масштабных уровней. И это исключительный случай. В неархимедовом анализе в смысле «типичности» картина будет совершенно другой. Здесь типична именно вторая ситуация. Собственно каждая точка неархимедовой прямой играет две роли. В первой она является бесконечно удаленной для точек меньшего масштаба, во второй — служит одним из пунктов пути к бесконечно удаленной точке большего масштаба. Например, точка X = 1 является бесконечно удаленной для точек X = E, 2E, 3E,... . С другой стороны, точки X = 1,2,... — это отметки на пути к значению X = w. По-другому можно сказать так: переход с одного масштабного уровня неархимедовой прямой на другой ее уровень — это всегда прыжок того же типа, что и в (3).
Далее, непрерывность функции всегда ассоциируется с непрерывностью ее графика. Тогда если мы говорим о графике над осью ОХ, содержащей в своем изображении «многоточия», то каким-то образом надо описать непрерывность этого графика и над особой зоной, обозначенной многоточием. Это можно сделать, используя инструмент предельного перехода в смысле Lim. Именно здесь есть аналогия с понятием непрерывности обыиной функции в бесконечно удаленной точке.
Инструмент предельного перехода в смысле limit позволяет описать непрерывность, аналогичную непрерывности обыиныгх функций в конечных точках.
Все это, конечно, только аналогии, которые позволяют поняты ситуацию неформально. Для дальнейших построений необходимы формальные определения. Перейдем к их изложению.
В неархимедовом анализе есть два типа неактуальный бесконечно малыгх величин (см. § 14). При использовании бесконечно малых первого типа будем говорить о непрерывности функций по типу 1. При использовании бесконечно малых второго типа будем говорить
о непрерывности по типу 2.
§ 19. Непрерывность по типу 2 — локальная непрерывность функций
Пусть X, Y — переменные, принимающие значения в области существенных чисел, F(X) — заданная функция, Y0,X0 — некоторые значения X и Y. Предположим, что две несчетные последовательности
X1,X2,...X w ,...X v,..., (1)
x 1,X 2,...x w ,...x v,...
сходятся к точке X0, т.е.
limitXv = X0, limitX'v = X0.
vi® vi®
Будем считать, что значения (1) принадлежат области определения функции, так что можно говорить о следующих двух последовательностях:
F(X1), F(X2),...F(Xw),...F(Xv),..., (2)
F(X1), F(X2),...F(Xw),...F(Xv),....
Определение 19.1. Примем, что предела у функции F(X) при
X i X0 не существует, если 1) найдется хотя бы одна последовательность Xv такая, что предела limitF(Xv) не существует, либо 2) най-
v
дется хотя бы две последовательности (1) такие, что limit F(Xv) ф limit F(X'v).
v v
Определение 19.2. Если для любых двух последовательностей (1), сходящихся к X0, существуют пределы последовательностей (2) и эти пределы совпадают между собой, т.е.
limit F(X v) = limit F (X 'v) = Y 0, (3)
v v
то будем считать, что предел функции F(X) при X i X0 существует. Значения предела будем полагать равными значению (3). Перечисленные факты будем констатировать с помощью записи
limit F (X) = Y0.
X iX0
Может оказаться, что функция в самой точке X0 также определена. Тогда введем следующее
Определение 19.3. Если предел функции при X — X0 существует и равен значению F(X0):
limit F(X) = F(X0),
X —X0
то будем считать, что функция F(X) в точке X0 является непрерывной по типу 2. В противном случае считаем, что функция является разрывной (по типу 2) в точке X0. Величина разрыва полагается равной разности
R = F(X0) - limit F(X).
X — X0
Непрерывную по типу 2 функцию будем называть также локально-непрерывной или limit-непрерывной функцией.
Для определения непрерывности в бесконечно удаленной точке необходимо положить X0 = от.
Определение 19.4. Если функция F(X) локально-непрерывна в каждой точке некоторой подобласти D области существенных чисел, то будем говорить, что она непрерывна по типу 2 в D.
