Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Теперь о непрерывности по типу 1. Рассмотрим переход с вещественного масштабного уровня прямой на ее первый мегауровень:
Xn = x*n, X* = x*ю, DXn = x*(w - n).
В области определения вида X = h + x + X предельной точке X * соответствуют значения h = x *ю, x = 0, X = 0. Самой последовательности X n соответствуют h = 0, x = x *n, X = 0. Отсюда
F(X*) - F(Xn) = (x*)3-w3 - (x*)2-n2.
При n ^ w выражение к 0 не стремится. Следовательно, при переходе с вещественного уровня на мегауровень функция разрывна и скачок ее равен
R = (x*)3-w3 - (x*)2-w2.
Рассмотрим теперь переход с первого микроуровня на вещественный масштабный уровень прямой. Пусть
X* = x*; Xn = x* • n • E, DXn = x *(1 - nE). (1)
Здесь x * ф 0 — ядро некоторого вещественного числа. В области определения X = h + x + X последовательности X n отвечают значения
h = 0, х = 0, X = х * • n • E Предельной точке X соответствуют значения h = 0, х = х *, X = 0. Отсюда и (1) видно, что
F(X*) _ F(Xn) = (х*)2-(1 _ n2E2).
Ясно, что при n i w имеем n2E2 i 1 и предел Lim правой части равен 0. Следовательно, переход с первого микроуровня на вещественный уровень прямой совершается без скачка.
Рассмотрим теперь обратный переход — с вещественного уровня прямой на ее первый микроуровень. Положим
= —, AXn = х'
n
E _ -
где по-прежнему х * ф 0 — ядро вещественного числа. Тогда
F(X ) _ F(Xn) = х’
e2 _ J2. n1
при n i w. Непрерывность есть.
3. Нетрудно привести примеры функций, разрывных по типу 2 и непрерывных по типу 1. Пусть
F (h + х + X) = (h + х)2 + signX.
Функция разрывна по типу 2, так как при | AXv | < E приращение аргумента X — это приращение X- Непрерывность типа 1 между вещественным и первым мегауровнем имеет место, а между вещественным и первым микроуровнем непрерывности типа 1 нет.
*
Глава 6 Моделирование неархимедовых функций, их производных и интегралов на обычной действительной прямой
Хорошо известно, какую большую роль в математике и прикладных науках играют аналогии. Оказывается, что некоторые свойства неархимедовой прямой можно промоделировать на обычной действительной прямой. Это позволяет построить модели основных операций неархимедова анализа. Поэтому вначале обратимся к таким моделям, а затем на их основе рассмотрим конструкции производных и интегралов от неархимедовых функций.
§ 23. Область неординарных действительных чисел как модель многомерной неархимедовой числовой области
Выше было показано, что имеет место формула
где j2 = 1 — двойная единица. Двойная единица неупорядочена относительно чисел, принадлежащих одномерной неархимедовой прямой. Это значит, что неархимедов математический анализ должен строиться на основе многомерной числовой системы. Промоделировать такую систему на одномерной действительной прямой невозможно. Можно, однако, несколько обобщить концепцию действительного числа и получить необходимую многомерную числовую область.
Обратимся к концепции вещественного числа по Кантору. Изменим в этой концепции только одну позицию — снимем требование фундаментальности последовательностей, которые служат материалом для построения действительных чисел. Заменим его менее жестким требованием ограниченности последовательностей.
Определение 23.1. Неординарным вещественным числом a будем называть класс эквивалентности последовательностей рациональных чисел an, a'n... таких, что последовательность an — ограничена, а по-
следовательность (an - a'n) входит в состав вещественного числа 0вещ. Обозначение следующее:
a = lim an = lim a'n. (1)
n—от n—от
Числа (1) будем называть также конечными или ограниченными числами, an будем считать приближением a, а a — пределом последовательности an. Определения ограниченности an и числа 0вещ сохраняются прежними: последовательность an — ограничена, если существует натуральное M такое, что | an |< M для любого n; число 0вещ — это класс эквивалентности последовательностей an таких, что для любого рационального е > 0 существует натуральное N(e) такое, что | an | < е при n > N.
Теперь необходимо остановиться на корректности обозначения (1), так как символ lim уже использовался для обозначения вещественных чисел. Корректность очевидна. Если последовательность {an} является фундаментальной, то вещественное число lim an совпадает с числом в смысле (1). Если же последовательность {an} не фундаментальна, то вещественного числа lim an не существует, в то время как число в смысле (1) существует также и в этом случае. Например, вещественного числа lim(-1)n не существует. Однако в смысле (1) чис-
П—от
ло lim (-1)п существует и представляет собой класс эквивалентности
П—от
последовательностей
{(-1)n}; j(-1)n + -Ц; j(-1)n + ^J; ....
Арифметические операции с числами (1) определим через их приближения:
