Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
x-,,... x 0,... Xv,...
суть ядра вещественных чисел. Числа (28) принадлежат неархимедовой (существенной) прямой, но, конечно, не исчерпывают данную прямую полностью, так как ядра вещественных чисел не могут быть увеличены до w - 1. Следовательно, если отметить на прямой числа вида (28), то между ними будут наблюдаться пробелы различных масштабов. Тем не менее числовая область (28) является наиболее удобной для приложений и поэтому ниже данный случай будет основным наряду с самым общим случаем, когда переменная X пробегает все значения на неархимедовой прямой без купюр.
Обозначения вида (28), (29) будем использовать для пространственных осей.
Для масштабных уровней неархимедова времени будем использовать следующие обозначения:
T = t- +... + t-1 w + t0 + t1 E +... + tv Ev +... =
= а, + ... + ¦& 1 + t + T1 + ... + Tv + ...,
где
¦a , = t- ,... t0 = t,...,tv ev = Tv ,...,t- ,,... t0, — tv...
— ядра вещественных чисел.
Глава 5 Непрерывность неархимедовых функций
Напомним определение непрерывности, которое дается в классическом анализе. Пусть функция f (х) задана на действительной оси Ox и пусть xn — некоторая сходящаяся последовательность. Предположим, что
lim Xn = х *, lim f (Xn) = f f limxn 1. (1)
n—— от niOT V niOT J
Если данное равенство имеет место для любой последовательности xn — x *, то f (х) считается непрерывной в точке х *. Данные условия носят локальный характер, поэтому непрерывную функцию можно назвать также локально-непрерывной функцией.
Пусть теперь функция непрерывной не является, но, тем не менее, для некоторых последовательностей xn из первого условия (1) следует второе условие. В таких случаях функцию f будем считать
непрерывной в точке х * по пути xn. Если равенства (1) имеют место
для некоторых классов путей, то можно говорить о непрерывности относительно данных классов путей.
Ничто не мешает распространить определение (1) также на случай, когда x * = от. В анализе-1 это, однако, не принято. Более того, в своем известном учебнике [110, с. 96] Н.Н. Лузин пишет: «Как пример ложного задания функции полезно указать фразу: “Функция f (х) равна нулю для всякого конечного x, f (х) = 0, и равна единице для x бесконечного положительного, f (от) = 1”. Такое задание функции f (х) бессмысленно, потому что бесконечность не есть число и, значит, численного значения аргумента, равного +от, быть не может. И тот, кто пишет f (+от) = 1, должен иметь в виду, что есть просто сокращенный способ писать lim f (х) = 1. В данном случае это невоз-
х ——+от
можно, поскольку f (х) = 0для всякого конечного x, и, значит, имеем lim f (х) = 0, а не 1».
х —+от
В неархимедовом анализе отношение к понятию «бесконечность» совершенно другое. Здесь бесконечно большие числа имеют точно такой же статус, как и обычные, т.е. конечные числа. Во всех выкладках
они фигурируют вместе с конечными числами вполне «на равных». Эти обстоятельства дают основания для того, чтобы и бесконечность классического анализа «уравнять в правах» с обычными числами. Формальных препятствий для этого нет: любое конечное вещественное число х — это класс эквивалентности последовательностей рациональных чисел. Бесконечность также представляет собой класс эквивалентности последовательностей рациональных чисел. Поэтому будем считать, что значение f (от) можно задавать независимо от величины предела lim f (х). Ясно, что значение f (от) может совпадать с
X ——от
пределом, но может и отличаться от него. Предположим, что
limх— =*, lim f (х—) = f (limx—J. (2)
n—от ——от Vn—от J
Если последнее равенство имеет место для любой последовательности хп — от, то функцию можно считать непрерывной в бесконечно удаленной точке. Функцию f (х) будем считать непрерывной в точке х = от по некоторому пути хп — от, если равенства (2) имеют место именно для данного пути хп.
Равенства (1), (2) одинаковы по форме, но между ними есть одно принципиальное различие. Равенства (1) можно переписать так:
lim f (х* - Ах) = f (х*), Ах = х* - хп.
Ах—0
Однако для равенств (2) подобная запись
lim f (от - Ах) = f (от), Ах = от - хп
Ах—0
смысла не имеет. Все дело в различном характере сходимости последовательностей хп к своему пределу. Для конечного предела запись lim хп = х * означает неограниченное уменьшение разности (хп - х *).
П—от
Если же х = от, то характер стремления к пределу становится другим. Пусть, например, хп = п. Прибавляя на каждом шаге к значению аргумента единицу, можно продвинуться до любого числа, но только не до числа х = от. Конечные числа и бесконечность всегда разделены чем-то, что можно назвать барьером, пропастью или особой зоной перехода. Если попытаться изобразить действительную ось вместе с бесконечно удаленной точкой, то без многоточия не обойтись. Такое же многоточие будет и в иллюстрации предела от с помощью ряда
