Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Q(w) = LimQ(n), Q(w + 1) = LimQ(n + 1),...
n n^ w
...Q(v - 1) = LimQ(v(n) - 1), Q(v) = LimQ(v(n)),
n^ w n^ w
v = Lim v(n).
n^ w
Тогда символ s будем называть суммой ряда и под s понимать следующее число:
s = Lim [Q(1) + Q(2) +... + Q(v(n))].
n^ w
Далее возникает необходимость в определении сумм несколько бо-
лее общего вида, чем суммы (16), а именно сумм вида
s = Q(m + 1) + Q(m + 2) +... + Q(v - 1) + Q(v), (17)
где
m = Limm(v) < v = Limv(n). (18)
n^ w n^ w
Предположим, что каждое из слагаемых (17) представляет собой непрерывное продолжение ряда
Q(1), Q(2), ... Q(n),..., (19)
т.е.
Q (m + 1) = Lim Q (m(n) + 1),... Q(v) = Lim Q (v(n)). (20)
n^ w n^ w
Примем следующее
Определение 16.4. Если выполняются неравенство (18) и условия непрерывности (20), (19), то под суммой (17) будем понимать следующий предел:
s = Lim [Q(m(n) + 1) + Q(m(n) + 2) + ... + Q(v(n))].
n^ w
Проверим корректность данного определения на конкретном примере. Пусть
s = Q(1) + Q(2) +... + Q (w) + Q (w + 1) +... + Q(2w).
Данную группу можно рассматривать как сумму вида (16). Тогда s = Lim [Q(1) +... + Q (n) + Q (n + 1) +... + Q(2n)].
n^ w
Но ее можно также рассматривать и как сумму, например, двух рядов: s 1 = Q(1) +... + Q(w) = Lim [Q(1) +... + Q(n)],
n^ w
s2 = Q(w + 1) +... + Q(2w) = Lim [Q(n + 1) +... + Q(2n)].
n^w
Принятые определения дают следующий результат: s = s 1 + s 2. Аналогично проверяется выполнение и других необходимых свойств. Доказательство корректности в общем случае трудностей не представляет.
2. Общий случай
Для определения суммы ряда необходимо (и достаточно) уметь вычислять его частичные суммы. Если слагаемые выписаны явно, то сумму можно считать известной. Вся проблема состоит в слагаемых, которые мы не можем выписать явно и поэтому заменяем знаком пробела. Например, для частичной суммы sw имеем
s w = Р1 + P 2 + P 3 + ... + P w-2 + P w-1 + Pw •
Для таких случаев мы должны предположить, что для невыписанных слагаемых задан закон, по которому можно вычислить любое из подобных слагаемых.
Будем считать, что для невыписанных слагаемых (замененных многоточием) действует только один закон — закон непрерывного продолжения. Номер слагаемого, где непрерывность нарушается, должен быть точно известен, так чтобы всегда можно было вычислить отклонения от непрерывного продолжения (т.е. величину разрыва). Например, пусть непрерывность имеет место до слагаемого номер w включительно, а для слагаемого номер (w + 1) и последующих слагаемых имеют место разрывы
s w+ k = p 1 + p 2 + ... + p w — 1 + p w +
+ (p w+1 + q 1) + (p w+2 + q2) + ... + (p w+k + qk )-
Здесь по-прежнему pw+1,... получены непрерывным продолжением, а q 1,...qk — известные величины разрывов. Предположим, что нам необходимо вычислить ряд из 2w слагаемых. Значит, необходимо задать еще один закон — закон изменения слагаемых от любого номера w + k до номера 2w. Предположим, что имеет место непрерывность для величины самих разрывов, т.е.
qw = Limqn, qw— 1 = Lim qn—1-. •
rri n— w n—w
Тогда
s 2w = p 1 +... + p 2w + q 1 +... + qw =
= Lim(p 1 +... + p 2n) + Lim(q1 +... + qn).
n—w n— w
Аналогичным образом можно рассмотреть и более сложные законы изменения частичных сумм.
§ 17. Несчетные ряды
Предположим, что мы располагаем данными для того, чтобы вычислить сумму v слагаемых для любого v:
sv = p 1 + p 2 + ... + p w + ... + pv.
Здесь условия непрерывности необязательны. Разрывы явно не выделены. Предположим, что существует предел
s = limit sv.
v—OT v
Данный предел будем называть суммой ряда
s = p1 + p 2 +...+ pv +.... (1)
Ряды (1) назовем несчетными рядами, или рядами типа 2, так как последовательность индексов слагаемых имеет порядковый тип 2 (т.е.
порядковый тип продолженного натурального ряда). Ряды (1) аналогичны рядам классического анализа
от
Это следует из аналогии операции предельного перехода в смысле limit и предельного перехода классического анализа lim. По аналогии в неархимедову область можно перенести большинство результатов по теории рядов классического анализа. В частности, в сумму (1) можно добавлять нулевые слагаемые или объединять скобками слагаемые (1). Результат от этого не изменится. Доказательство следует из теоремы 12.2.
