Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
liman ± limbn = lim(an ± bn), liman • limbn = limanbn,
liman an
----n = lim—, bn ф 0.
limbn bn
Аналогично определим модуль и целую часть
|liman | = lim| an |, [liman ] = lim[an ].
Определение 23.2. Будем считать, что числа
a = liman, b = limbn
находятся в отношении a < b (b ^ a), если начиная с некоторого номера N выполняются неравенства
an < bn •
Если a ф b и a < b, то примем, что a < b (b > a).
Легко доказать, что указанные отношения не зависят от выбора конкретных последовательностей из соответствующих классов эквивалентности. Следовательно, определения корректны.
Сопоставим теперь свойства вещественных чисел и неординарных вещественных чисел из области (1).
10. В области (1) определены операции сложения и умножения. Данные операции а) коммутативны; б) ассоциативны; в) дистрибутивны.
20. Области (1) принадлежат числа 0вещ, ± пвещ, гвещ. Роль нуля и единицы играют числа 0вещ и 1вещ. Вещественные числа являются частным случаем чисел (1) и входят в числовую область (1) как составная часть.
30. Определены операции вычитания и деления. Операция деления определена не для всех конечных чисел.
40. Среди чисел (1) отсутствуют мнимая и дуальная единицы, т.е. числа i и J такие, что i2 = -1 и J2 = 0 при J ф 0.
50. Область чисел (1) является частично упорядоченной.
60. Среди чисел (1) есть делители нуля. Среди чисел (1) есть неограниченное число двойных единиц. Это числа, приближения которых равны +1 и -1 с произвольным их чередованием.
70. Среди чисел (1) отсутствуют актуальные бесконечно малые числа.
Проще говоря, если относительно числа а области (1) известно, что | а | < е для любого рационального е > 0, то a = 0вещ. Последнее означает, что система чисел (1) удовлетворяет Первой аксиоме разрешения:
если относительно двух неординарных вещественных чисел а и b известно, что
| a - р | < е
для любого рационального е > 0, то числа а и b между собой не различаются, т.е. a = b или a - b = 0вещ.
Последние утверждения дают основание для того, чтобы числовую систему (1) отнести к архимедовой системе, хотя она упорядочена только частично.
Таким образом, область (1) имеет ряд общих черт с областью вещественных чисел. Есть и отличия. Главное отличие состоит в том, что система обычных вещественных чисел линейно упорядочена. Можно сказать, что вещественные числа — это заурядные (или ординарные) числа, т.е. числа, стоящие в ряду подобных им. Числа же (1) неупорядочены, т.е. в общем случае они являются «из ряда вон выходящими», неординарными. Такая характеристика дала основа-
ние для того, чтобы числа (1) были названы неординарными вещественными числами.
Словом «вещественные» мы подчеркиваем то обстоятельство, что для чисел (1) так же, как и для обычных вещественных чисел, имеет место Первая аксиома разрешения. Фигурально выражаясь, можно сказать, что число (1) представляет собой настолько крупное скопление последовательностей рациональных чисел, что это скопление проявляется на вещественном масштабном уровне.
Для неограниченных последовательностей удобно ввести «более крупные» объекты, чем те, которые определяются эквивалентностью типа lim(an - a'n) = 0 . Проще всего это сделать таким образом.
Возьмем совокупность последовательностей, которые определяют число 0вещ. Исключим из них те последовательности, в которых встречается нуль. Перейдем теперь к последовательностям обратных величин. Их совокупность обозначим через да и будем называть бесконечностью в области неординарных вещественных чисел. Отметим, что совокупности последовательностей да принадлежит совокупность +да и совокупность -да (они вводились в области вещественных чисел). О каждой из них можно говорить как об одном из путей, ведущих в точку да.
Пойдем дальше. Обратимся теперь к делителям нуля. Пусть a — один из делителей нуля и
a = lim an.
nn
Из совокупности последовательностей, входящих в состав числа a, исключим те, в состав которых входит нуль. Возьмем теперь последовательности, обратные к указанным, т.е. последовательности
— , где an ф 0. Их совокупность обозначим через a-1. Возьмем чис-°-n J
ло b и точно также образуем совокупность последовательностей b-1.
Определение 23.3. Если a • b = 0вещ и a ф 0, b ф 0, то объекты a1, b 1 будем называть числами, обратными делителям нуля.
Это очень интересные объекты. Они имеют двойственную природу. Нестрого можно сказать так: одна их часть принадлежит области конечного, а другая часть — области бесконечного.
Например, пусть a определяется классом последовательностей, в который входит последовательность
1, ; 1; 12,1, гз... 1, Гп; ...; limГп = 0,
1 1 (-1)п например, гп = -, —, ^-^,... .
n n2 n3
Тогда в состав объекта a 1 будут входить последовательности {1, n}; {1, n2}; {1, (-1)nn3},....
