Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
В принципе, подобные функции можно из анализа-2 исключить. Однако это сузит возможности аппарата. Кроме того, подобные функции появляются самым естественным образом, например через тригонометрические функции. Так, значения функции Y = cosX при X конечных всегда принадлежат прямой OY, а при X бесконечном
могут уже выходить в новое измерение. Например, cospw = (-1)w. Поэтому подобные функции исключать не будем.
Случай 3. Пусть
F(г) = limit Lim fmv (г).
v—от m—w
Начиная с некоторых v и m
fmv (0) < 0, fmv (1) > 0.
Найдем значение gmv такое, что
F (g mv ) = 0
Зафиксируем v и перейдем к пределу Lim при m — w. В результате получим
g v = Lim g mv, F(g v) = 0. (4)
m— w
При любом фиксированном г из замкнутого промежутка [0,1] последовательность порядкового типа 2
Lim fm1 (г),... Lim fmn (г),... Lim fmv (г)...
m— w m— w m—от
будет фундаментальной. Последовательность
gЬ g2... gw,... gV..•
также будет фундаментальной. Следовательно, ее предел
g = limit g v
v——от
существует. Переходя к пределу limit при v — от в (4), получим
F (g) = 0.
Теорема доказана. ¦
Итак, понятия непрерывности в анализе-1 и анализе-2 аналогичны между собой. В частности, и в том и в другом случае непрерывная функция однозначно определяется своими значениями в рациональных точках. Это значит, что условия непрерывности чрезвычайно сильные. Ведь область существенных чисел является бесконечномерной и многомасштабной. Поэтому многообразие произвольных функций, которые можно задать в такой области, практически необозримо. Задача состоит в том, чтобы, отправляясь от непрерывных функций, постепенно продвигаться к классам все менее гладких функций. Причем степень продвижения в этом направлении должна диктоваться теми или иными потребностями теоретического или прикладного характера.
§ 22. Примеры
Принятые выше определения дают классификацию функций, связанную с различными степенями их непрерывности. В рабочем варианте проверка непрерывности сводится к проверке истинности двух утверждений:
если limit DXv = 0, то limit [F(X) - F(X - DXv)] = 0;
v—от v—от
если Lim DX n = 0, то Lim [F(X) - F(X - DX n)] = 0.
n—w n n—w n
Операторы limit и Lim обладают одинаковыми свойствами:
limit (A v + Bv) = limit Av + limit Bv,
v—от v—от v—от
limit Av • Bv = limit Av • limit Bv,
v—от v—от v—от
limit Av / Bv = limit Av / limit Bv;
v—от v—от v—от
Lim(An + Bn) = Lim An + Lim Bn,
n—w n—w n—w
LimAn • Bn = LimAn • LimBn,
n—w n— w n—w
Lim A— / B— = Lim A— / Lim B—.
n— w n—w n—w
Предполагается, что все пределы существуют и все знаменатели отличны от нуля. Различие процедур limit и Lim состоит в характере переменных DXv, DXп. Возможно, что
DXv = 1 или —; DXп = ww - wn, w - n, E - -.
v v w n
В первом случае с увеличением v переменная | DX v | становится меньше E, E2... и т.д. Во втором случае с увеличением п переменная DX п может быть бесконечно большой или оставаться на вещественном масштабном уровне и т.д.
Для довольно широкого класса функций данное различие никакого значения не имеет.
1. Пусть F(X) = X2. Тогда
F(X) - F(X - DX) = 2XDX - (DX)2.
Величина DX здесь не важна. Имеет значение только структура выражения. Применяя к нему оператор limit или Lim (и приписывая DX индекс v или п), мы в обоих случаях получим нуль.
Ясно, что этим свойством будут обладать многочлены по X, а также функции, раскладывающиеся в степенные ряды с достаточным радиусом сходимости.
Таким образом, для указанных функций непрерывность по типу
2 влечет за собой непрерывность по типу 1 и наоборот. Данные функции являются непрерывными.
Класс разрывных функций гораздо более широкий. Пусть F(X) определена при
X = h + x + X = x-1 w + x 0 + x 1E,
где x-1,x0 — ядра вещественных чисел, а |x 1| < 10 может принимать значения вещественного уровня, а также любых микро- и промежуточных уровней неархимедовой прямой.
2. Положим
F (h + x + X) = h3 + (x + X)2.
Рассмотрим непрерывность по типу 2. При | DXv | < E приращение DX v — это приращение X- Поэтому
F(X) - F(X - DXv) = 2(x + X)DXv - (DXv )2 ^ 0
при DX v ^ 0. Функция является непрерывной по типу 2 (локально непрерывной).
