Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Пусть первый отрезок A1, A 2,... A n... последовательности (23) состоит из абсолютных рациональныгх чисел. Максимально возможная степень непрерывности несчетной последовательности состоит в следующем: каждый член последовательности с бесконечно большим номером представляет собой непрерывное продолжение начального отрезка:
A w = Lim An, A w +1 = Lim An + Ь..^
n n— w n (24)
n— w
Av = Lim Av(n),
n— w
где, как обыино, v = Limv(n). Условия непрерывности уменьшают
n— w
произвол в выборе (23). Теперь произвол сводится к выбору членов 128
только счетной последовательности An. Если десятичное разложение числа An имеет вид
А = ?1 + ?* +... + Zn,
10 102
10n
то десятичное разложение s суть
s =
?^ +
10 102
+... +
10”
+... +
10°
? w+1 10w+1
+... + +..., 10v
где
?w = Lim?n,...?v = Limp^,... .
(25)
Здесь pn = 0, 1, 2,...9 — это цифры. Числа (25) тоже были названы «цифрами». Условия непрерывности (25) означают, что s — ядро вещественного числа. Ядрам вещественных чисел соответствуют максимально возможные условия непрерывности.
Таким образом, непрерывность означает, что цифры, стоящие на местах с бесконечными номерами, однозначно определяются цифрами на местах с конечными номерами. В этом отношении ситуация похожа на изображение рациональных чисел периодическими десятичными дробями. Для последних существует конечное натуральное число N такое, что цифры на любых местах, больших N, однозначно определяются первыми N цифрами. С этой точки зрения вещественные числа по уровню сложности можно считать непосредственно примыкающими к рациональным числам (ср. с классом «ги-перрациональных» чисел [77]).
Следующие классы чисел будем получать, постепенно ослабляя условия (24). Предположим, что непрерывность есть до члена номер w и дальше она нарушается:
s = +... + ?w=I + +
10w 10w
10
iw±i +... + 3^ +... 10 w+1 10v
где
?w-1 = Lim?n_1, ?w = Lim?n,
n^ w n^ w
q.w+1 * Lim?n+b... •
Основная идея состоит в том, чтобы выделить из суммы в скобках непрерывное продолжение (25). Пусть
q w+1 = ?w +1 + R1, qw+2 = ? w+2 + R 2, — ,
где по-прежнему ?w,... определяются равенствами (25). Тогда
1
s = a0 +-----------
10w
R1 R 2 Rw Rv
— + + ... + —— + ... + —- +...
10 102 10w 10v
Предположим, что Rn — это рациональные числа. Пусть разрывы устроены так, что разрыв Rw равен пределу Lim от последовательности разрывов Rn. Значения остальных разрывов получаются аналогично:
R w = Lim Rn, Rw+1 = Lim Rn+1,.... (26)
niw ni w
Тогда выражение в скобках — ядро некоторого вещественного числа a1 и, значит,
a 1
s = a0 + —- .
10w
Действуя дальше таким же образом, можно строить более сложные типы чисел, включая сюда числа с бесконечным разложением по степеням 10w:
s = a0 +----------+ —2— + —з— + ... + —~ +... . (27)
10w 102w 103w 10vw
Данная запись соответствует позиционной системе с основанием 10w: s = a0, a1 a2,... av,... •
Здесь «цифры» представляют собой уже ядра вещественных чисел.
Результат (26) можно обобщить. Предположим, что начальный отрезок последовательности представляет не рациональные числа, как это было принято выше, а элементарные числа: An = Lim an (m).
miw
Пусть имеют место те же самые условия непрерывности (25):
Aw = LimAn = Lim Lim an(m) = Liman(n);...
ni w ni w mi w ni w
Av = Lim Av (n) = Lim avW (n),... .
Стартовая последовательность An должна быть такой, чтобы продолженная последовательность Av была фундаментальной.
По аналогии с (27) можно рассмотреть класс существенных чисел, которые можно записать в форме (27), но в системе с основанием, равным w. Здесь мы ограничимся только такими числами, которые имеют следующее представление:
s=х _ +... + х _ www +... + х _1 w + х 0 + х 1E +... + х v En +... = ^g)
= + hm_ 1 +... + h 1 + х + X1 +... + X v +...,
где
h, = x-,...h 1 = x-1 w x = x0, X1 = x 1E,... Xv = xvEV,..., (29)
