Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
§ 18. Позиционная система счисления в области неархимедовых чисел
В области вещественных чисел большую роль играет позиционная система их записи. Оказывается, что подобную систему можно ввести и в неархимедовой числовой области. Вначале изложим схему построения обычной позиционной системы так, чтобы ею можно было воспользоваться и в неархимедовом случае:
10. В качестве первого шага констатируем: вещественное число a — это класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Последовательность принадлежит типу 1, т.е. является счетной последовательностью.
20. Определяем знак числа a: s = signa и полагаем a = s ¦ | a |.
30. Определяем число р — порядок числа | a|:
| a| = 10p ¦ р; 0 < р < 10,
b — вещественное число, р — натуральное.
40. Для идентификации класса эквивалентности b достаточно указать только одну последовательность из данного класса. Выберем ее так, чтобы ряд
р = b1 + b2 +... + bn +...
состоял только из неотрицательных членов и был строго иерархичен. Под строгой иерархичностью понимается следующее: любой отличный от нуля и нормированный член ряда должен давать вклад в сумму ряда не меньший, чем совокупный вклад всех остальных членов ряда, стоящих правее его. Например, в ряде 0,72345... вклад члена
0,7 больше, чем всех остальных членов: 0,7 > 0,0234.... Нормировка
означает, что цифра 7 заменяется цифрой 1. Однако и в этом случае имеет место неравенство 0,1 > 0,0234.... Только в одном крайнем случае в пределе допускается равенство: например, 0,1 = 0,0999....
50. Выбирается основание G и ряд записывается в виде
Р = Q + ^ + -% +....
10 102
Здесь G = 10; С0, С1... = 0,1,2...9 — цифры. Окончательный результат состоит в представлении:
a = s • 10р lim
С + С1 + ст
С0 + — +... ------------
0 10 10т
= s
10 p
^ С1 С 2
С0 + —1f +...
0 10 102
(1)
Закон Ст = С(т) должен быть известен. Именно он идентифицирует число a. Для рациональных a функция С(т) либо равна нулю начиная с некоторого т = N(a), либо представляет собой периодическую функцию, например
- = lim 3 т—»
3
— +
3
3
10 102 + ... + 10ту
1. Позиционная система записи элементарных чисел
Элементарное число — это класс последовательностей абсолютных рациональных чисел r (п):
А = Lim r (n).
(2)
Поэтому для каждого из приближений можно сразу воспользоваться результатом (1), продолженным по непрерывности на актуальные бесконечно большие «натуральные» числа:
r(n) = s(n) • 10p(n) limit.
V—»
= s (n) • 10p(n)-
С0(п) + СМ + +
10
102
С V (n) 10V
С0(п) + ^ +...
10
100
(3)
Подставим (3) в (2) и в каждом из слагаемых перейдем к пределу в смысле Lim. Пусть
s (w) = Lims (n), p(w) = Lim p(n);
n—w n— w
Q(w) = LimС0(п), С1(w) = LimС1(п),—
(4)
(5)
т—»
n—w
Указание на аргумент w будем иногда опускать. Тогда выражение
А = s(w) • 10p(w)
C0(w) + + ^ +...
10 100
(6)
представляет собой запись элементарного числа А в позиционной системе счисления с основанием 10. Коэффициенты (5) будем называть «цифрами», так как их приближения — это обычные цифры и, кроме того, в записи (6) они играют именно роль цифр. Элементарное число (4)
p = p(w) = Lim(p 1, p2,...pn,...)
n^w
естественно назвать порядком числа А. Приближения p — конечные целые числа. Поэтому вполне может оказаться, что |p(w) | либо равен
0, либо принадлежит к продолженному натуральному ряду. Например, если p(w) = w, то можно сказать, что «цифра» G0(w) относится к (w + 1) разряду числа А. Таким образом, если p(w) — число «натуральное», то оно указывает на место «цифры» C0(w) в десятичном разложении элементарного числа.
Типичной, однако, будет совсем другая ситуация, когда порядок числа А в список «натуральных» чисел вообще не попадает и, более того, число p(w) оказывается неупорядоченным относительно неархимедовой прямой. Возьмем, к примеру, десятичное разложение числа w. Здесь p(n) = [lgn] и, значит, для самого числа ю
p(w) = Lim (0, [lg2], [lg3] ,...[lgn],...).
n^w
Квадратными скобками обозначена целая часть числа. Начиная с n = 10 приближения числа p(w) являются натуральными числами, однако само число p(w) относительно «натуральных» чисел неупорядо-чено. Такая ситуация является типичной.
