Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 51

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 124 >> Следующая

0 < d 11)(1) + d10)(1) < 9.
Очевидно, что если добавление единицы к одному из приближений (15) привело к тому, что приближение стало равным 10, то 10 мы заменяем на 1 и увеличиваем на 1 соответствующее приближение у порядка числа p(w).
Далее округляем число (16), т.е. заменяем его на число
Lim
n^ w
d(1)(1) + d(0)(1) - 10 ¦ k(1) 10 :
7(0)
(17)
Здесь k(1) = 0, если описанный выше перенос не потребовался, и k(1) = 1 в противном случае и т.д. Разницу между числами (16) и (17) прибавляем к D2 и все повторяем снова. Указанные операции можно назвать шлифовкой ряда (13), когда каждый его член мы доводим до статуса «цифры» в десятичном разложении числа S.
Окончательный результат можно записать в следующей форме:
= ф) ¦ 10q(m)
a 1 (w) a 2 (w)
a0 (w) + —1-------+ 2 ^ +... +
10
102
av (w) 10v
+...
(18)
где приближения q(m) либо совпадают с приближениями p(m), либо больше их на 1 в случае, когда этого потребовала «шлифовка» ряда. Процедуры определения s(m) и самого m описаны выше; a0(w)...av(w)... — это «цифры». Их приближения равны 0,1,2...9.
3. Позиционная система счисления с основанием, равным ю
Ясно, что все описанные процедуры можно реализовать, взяв за основание любое конечное натуральное число G > 1. Будем представлять себе величину G как параметр, который можно неограниченно
увеличивать. Возьмем разложение элементарного числа (9). Теперь у каждой «цифры», а также у порядка числа p(w) и его знака s(w) появился новый параметр — основание системы счисления G. Воспользуемся (9) и запишем число А через его приближения:
А = Lim s (n, G)10 p(nG]
C 1(n, G) i C2 (n, G)
G
+...
G2
(19)
Переход к пределу Lim при n ^ w никаких трудностей не представляет. Однако теперь мы хотим сделать переход к пределу также для числа G ^ w. При фиксированном значении п число под знаком Lim в (19) от величины G вообще не зависит. Это некоторое рациональное число, которое можно записывать в какой угодно форме. Если вычислить все его цифры и характеристику как функции параметра G и провести все выкладки, то величина G везде сократится или уничтожится. Поэтому переход G ^ w — это переход только в форме записи числа. Делая его, мы придем к следующему результату:
А = s (w, w)10 p(w’w)
C0 (w, w) +
C 1(w, w) C 2 (w, w)
+...
w
w
(20)
Здесь «цифры» могут меняться от 0 до (w - 1).
Для существенных чисел (18) результат будет аналогичным.
4. Позиционная система счисления как инструмент
для описания неархимедовой прямой
Выше все построения делались для самого общего случая, а именно для бесконечномерной (частично упорядоченной) области существенных чисел. В позиционной системе записи «неодномерность» (точнее сказать — неординарность) числа сосредоточена в его характеристике (7). Если же s(n) = 1 или s(n) = -1 и, кроме того, q — число «натуральное», то мы имеем разложение числа, принадлежащего существенной прямой. Для основания G = 10 имеем
s = ±10q •
a0 (w) + OiM + ^ +... + +.
10
10
10V
(21)
Здесь a0(w),...aV(w),... — «цифры». Запишем теперь (21) для произвольного основания G и перейдем к пределу Lim при G ^ w (см. равенства (19), (20)). В результате получаем
a = ±10q •
, ч a ](w, w) aV (w, w)
a0 (w, w) + —------------+... —-----------+...
ww
Здесь «цифры» a0,... aV... могут меняться от 0 до (w - 1).
(22)
Таким образом, мы получили полное описание чисел неархимедовой прямой, которое аналогично описанию обыиныгх вещественный чисел с помощью конечныгх или бесконечных десятичныгх дробей.
Представления (21), (22) удобны для записи конкретныгх чисел неархимедовой прямой. Однако использовать их для построения математического аппарата неудобно. (В классическом анализе ситуация такая же. Например, понятие производной никак не опирается на позиционную систему представления чисел.)
Здесь есть еще обстоятельство, которое необходимо отметить. Свобода в выборе «цифр» в (21), (22) является чрезвыиайно большой. Поэтому неархимедова прямая является весьма сложным объектом. Представляет интерес построение различныгх упрощенных конструкций прямой (за счет появления на ней купюр). С одной стороны, такие конструкции должны быть обозримыми, с другой — они должны быть достаточными для построения содержательной теории и приложений. Позиционные системы записи дают в руки подходящий инструмент для описания подобных конструкций. Переходим к их описанию. Отметим еще раз, что число s определяется несчетной фундаментальной последовательностью своих приближений:
A1, A 2,... An,...A w, A w +1,... Av ,..., (23)
Av = LimAv (n), s = limit Lim Av (n).
n— w v ——от n—w
Степень произвола в выборе таких последовательностей чрезвыкайно широка. Любые условия, которые так или иначе связывают члены последовательности между собой, степень произвола уменьшают. Практически это означает, что из области (23) мы выделяем различные подобласти, которые в силу выбранн^гх ограничений являются уже более обозримыми, чем исходная область. Наиболее естественны условия непрерывности.
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed