Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Здесь на первом месте указаны нечетные приближения, на втором — четные. Числа, обратные к делителям нуля, и бесконечность также будем относить к области неординарных вещественных чисел.
Таким образом, область неординарных вещественных чисел является бесконечномерной. Именно это ее свойство можно рассматривать как модель бесконечной размерности неархимедовой области существенных чисел. Каждое измерение в области неординарных чисел имеет свой аналог в существенной числовой области. (Обратное, конечно, неверно.) Данное соответствие можно продемонстрировать на примере двойной единицы. Возьмем последовательность из абсолютных единиц ± 1абс и обозначим ее как
j абс = {1, -1,1, -1,...}.
Если мы допустим, что в данной последовательности можно «испортить» любое конечное число членов, то придем к элементарному числу
j эЛ = Lim (-1)n+1. (2)
n—w
Дальше делаем еще один шаг и допускаем изменение всех членов последовательности путем добавления к ним чисел из состава вещественного числа 0вещ. В результате получаем неординарное вещественное число
j вещ = lim(-1) n+1.
П—от
Таким образом, мы пришли к двойной единице и соответствующим делителям нуля:
j 2 = 1 ; j вещ 1 1 j вещ - 1 = о
J вещ _ ^ещэ 2 * 2 _ ещ *
Обратимся теперь к объектам анализа-2. Образуем из элементарных чисел (2) стационарную несчетную последовательность порядкового типа 2:
J эл , J эл , • • • J эл , • • • J эл • • •
1 2 ... Ш, ... V, ... .
Допустим теперь изменение любого числа членов последовательности с использованием чисел из совокупности, которая была ранее обозначена как 0сущ. Проще говоря, образуем объект
j сущ = limit j эл.
V——от
В области существенных чисел построенный объект описывает одно из измерений данной области. Объект представляет собой не что иное, как двойную единицу и приводит к делителям нуля:
. 2 _ 1 . J сущ + 1 J сущ - 1 _ 0
J сущ _ 1сущ. 2 * 2 _ 0суЩ.
Ясно, что все это можно проделать с любой заданной последовательностью абсолютных рациональных чисел rn. С одной стороны, данная последовательность порождает неординарное вещественное число ан.в., с другой — число неархимедова анализа-2:
анв _ lim rn; s _ limit Lim rn.
n——от v ——от П—-w
Введем оператор перехода Я
limit Lim rn
v—от n—w
_ lim rn.
П—от
Оператор является однозначным, в то время как обратный оператор — бесконечнозначным — числовая область анализа-2 гораздо богаче области неординарных вещественных чисел. Тем не менее главное свойство — многомерность обеих числовых систем — на указанной аналогии прослеживается.
В данных пространствах можно построить базисы, которые сводятся либо к делителям нуля, либо к двойным и обычным единицам 1вещ или 1сущ. Попытка вычисления Ln(-j)/ pw естественно приводит к мнимой единице i. Таким образом, мы неизбежно приходим к многомерным числовым системам гиперкомплексных чисел [16, 111-113]. Подобные числа используются в геометрии и физике (см. [114] и другие статьи в журнале «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»). В [14, 16] с помощью двойных чисел описывались объекты, которые можно рассматривать как пределы непрерывных кривых, имеющих неограниченное количество изломов.
На базе неординарных вещественных чисел можно развить свой математический анализ. Основные его понятия будем рассматривать как модель неархимедова анализа, построенного для многомерной системы существенных чисел.
§ 24. Моделирование иерархии масштабных уровней неархимедовой прямой
Уровни доступности на обычной действительной прямой. Неархимедова прямая является объектом более сложным, чем вещественная прямая. Поэтому на вещественной прямой можно промоделировать
только некоторые свойства неархимедовой прямой. Выберем одно свойство, которое является наиболее важным, — свойство много-масштабности. Более того, вместо полной неархимедовой прямой мы возьмем упрощенный ее вариант — прямую с купюрами:
X = х _ mwm +... + х _1 w + х 0 + — +... + Ху~11 + , (1)
_m 0 w w v_1 wv
где по-прежнему x_m, ...xv_ 1 — ядра вещественных чисел. Примем,
что переменная Xv принципиально отличается от переменных
х_m,...xv_ 1 тем, что |Xv|< M, где М — конечное натуральное число и, кроме того, xv может быть любым существенным числом из указанного диапазона. Проще говоря, |xv | < M — это отрезок неархимедовой прямой без купюр. Именно это обстоятельство подчеркивается чертой в обозначении Xv. Таким образом, числовая область (1) обладает иерархией масштабных уровней. Ей принадлежит вещественный масштабный уровень х0, мегауровни х_1 w,..., микроуровни х 1E,... .
