Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
На языке бесконечно малых определение непрерывности сводится к следующему:
Определение 19.5. Функция F(X) считается в точке X непрерывной по типу 2, если любое изменение аргумента на бесконечно малую величину типа 2 приводит к изменению функции на бесконечно малую типа 2. Выпишем два равенства:
limit DX v = 0, limit [F (X) - F(X - DX v)] = 0.
v—от v——от
Утверждение о том, что из первого равенства следует второе, эквивалентно приведенному определению. Аналогично формулируются определения limit-непрерывности функции в области D и limit-непрерывности по отдельным путям. Таким образом, понятие непрерывности неархимедовой функции по типу 2 — это аналог понятия непрерывности анализа-1.
§ 20. Непрерывность по типу 1 — непрерывность функций на стыке различных масштабных уровней
Неархимедова прямая является многомасштабной. Поэтому переход аргумента с одного масштабного уровня на другой — это всегда переход через особую зону («многоточие»). Основным инструментом исследования непрерывности в зонах перехода служит оператор Lim.
Пусть функция F(X) определена при всех X, которые потребуются ниже. Смысл операции Lim виден из определения эталонных бесконечно большого и бесконечно малого чисел:
1, 2,...n,... Limn = w; 1, -,...-,... Lim- = E = 1/ w.
n 2 n n n
Все числа 1, 2, 3... принадлежат к вещественному масштабному уровню, а число Limn — к первому мегауровню; все числа 1, —, - ... при-n 2 3
надлежат к вещественному уровню, а число Lim— — к первому мик-
n n
роуровню. И вообще, если у нас заданы последовательность Xn и ее предел в смысле LimX n:
n
X1,X2,X3,...Xn,... LimXn = X*,
n
то члены последовательности и ее предел принадлежат, как правило, к разным масштабным уровням. Исключением являются стационарные последовательности. Все построения будут верны и для этого случая. Однако, имея в виду правило, а не исключение, о последовательности и ее пределе будем говорить как об объектах, которые принадлежат к различным масштабным уровням числовой области.
Определение 20.1. Примем, что функция F(X) в точке X является непрерывной по типу 1, если
LimX n = X*, Lim F (X n) = F | LimX n ] (1)
n^ w n^ w V n^ w J
для любых последовательностей Xn, сходящихся к точке X*.
Как правило, равенства (1) будут выполняться не для любых, а только для некоторых последовательностей, сходящихся к X . Для таких случаев введем
Определение 20.2. Если равенства (1) имеют место для некоторой последовательности Xn, то функцию F(X) будем называть непрерывной в точке X по типу 1 и пути Xn. Будем говорить также о непрерывности между масштабными уровнем Xn и уровнем X* (в точке X*). Если непрерывности нет, то можно говорить о разрыве типа 1, равном
R(X*;Xn) = F(X*) - LimF(Xn).
n^w
Разрыв R относится как к точке X*, так и к пути {Xn}, ведущему в эту точку.
Таким образом, понятие непрерывности на стыке масштабных уровней неархимедовой прямой — это примерный аналог непрерывности функций классического анализа в точке бесконечность.
На языке бесконечно малых определение непрерывности выгля-дет так:
Определение 20.3. Функция является непрерывной по типу 1, если любое изменение аргумента на бесконечно малую величину типа 1 приводит к изменению функции на бесконечно малую типа 1.
Запишем два равенства:
Lim DX п = 0, Lim [F (X) - F (X - DX п)] = 0.
п—w п—w
Непрерывность типа 1 означает, что из первого равенства следует второе.
§ 21. Непрерывные функции
Определение 21.1. Если в области D функция является одновременно непрерывной по типу 1 и по типу 2, то будем ее называть непрерывной в области D.
Таким образом, непрерывность функции означает одновременное выполнение условий
limit F(Xv) = F (limit X v \
v—от V v—от J
LimF(X—) = F (LimX'Л,
n— w V n—w J
где
Xi,X2...X w ,...x v...
фундаментальная последовательность типа 2, а
x 1,x 2... x—...
— последовательность типа 1. Члены последовательностей и их пределы принадлежат области D.
Термин «непрерывная функция» вводится в классическом анализе. Для того чтобы использовать такой же термин в неархимедовой области, нужны определенные основания. Такие основания есть. Одно из главных свойств непрерывных функций классического анализа состоит в том, что такие функции достаточно задать только в рациональных точках. В остальных точках они определяются однозначно условием непрерывности. Точно такое же свойство имеет место и в неархимедовой числовой области.
Теорема 21.1. Пусть в некоторой области D существенных чисел функция F является непрерывной в смысле определения 21.1. Предположим, что известны значения функции в рациональных точках г. Тогда данные значения и условия непрерывности однозначно определяют функцию F во всей области D.
