Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Многомасштабность прежде всего ассоциируется с понятием доступности в том смысле, что чем больший номер имеет мега- или микроуровень, тем более сложные инструменты необходимы для их исследования. Поэтому введем и на действительной прямой иерархию уровней доступности. Данные уровни будут моделировать масштабным уровням неархимедовой прямой.
Поступим следующим образом. Обычно числовую ось изображают так, как показано на рис. 6.1, а. Однако ничто не мешает изобразить ее и так, как показано на рис. 6.1, б.
а
А А' В С
—I----------1------------1---------------------1--------> *
б
Представим теперь, что по этой прямой (как по дороге с неровностями) мы передвигаемся на колесном экипаже с диаметром колеса, равным d. Ясно, что, располагая таким способом передвижения, мы можем достичь (коснуться) только точек А, В, С....
Достичь, например, точки А' таким способом уже невозможно. Для этого мы должны в точке А взять экипаж с меньшим диаметром колеса.
Таким образом, у нас появляются основания для того, чтобы некоторые точки прямой объединить в один уровень доступности (например, в уровень доступности для колеса диаметром d), другие точки — в другой уровень доступности и т.д. Ясно, что подобных уровней можно ввести сколько угодно.
Теперь — формальное описание. Предположим, что точки А, В... располагаются на оси с шагом, равным N . Координаты этих точек будем обозначать x 0. Данный уровень доступности будем считать базовым (нулевым) и рассматривать как уровень, аналогичный вещественному уровню неархимедовой прямой. Все уровни доступности с меньшим или большим шагом можно считать аналогами микро- и мегауровней неархимедовой прямой. Пусть точки на остальных уровнях расположены также равномерно и переход с одного уровня на другой управляется константой N , где N — возможно, очень большое, но конечное и вполне определенное натуральное число. Пусть x > 0, x 0 — координата точки А. Тогда координаты точек пер-
X1 *
вого уровня равны x 0 + —^, где x 1 = 0, 1, 2,..., N - 1; координаты
N
точек второго уровня равны
x, x0
x 0 +
* * 1 '
N (N )2
где x0,x 1 — зафиксированы, а x2 = 0,1... N* - 1и т.д. Таким образом, вся информация о структуре аргумента x дается его разложением в системе счисления с основанием N :
x = x - m(N )m + ... + x 0 + Л + ... + -^- + .... (2)
N (N )k
В моделях реальных процессов есть смысл рассматривать только ограниченное число уровней доступности. Поэтому оборвем запись (2) на знаке к:
\т , , „ , x1 , , xk-1 , xk
чк -1 / Лт\к'
i(N * )m +... + x 0 + x_ +... +
N (N )k_1 (N )k
Переменные х_m,...xk_1 принимают дискретные значения, равные
0, 1,...N _ 1, а переменная xk меняется непрерывно от 0 до N . Именно это обстоятельство подчеркивается чертой в обозначении xk.
В самом простом варианте m = 0, k = 1, N = 10. Здесь выделяются только два уровня доступности: базовый уровень целых чисел и уровень дробных чисел. Для этого случая будем использовать обозначения без индексов:
X0 = [х] = z, х 1 = {х} = t, х = z + t, (3)
z, t — целая и дробные части х. Черта в обозначении t подчеркивает то обстоятельство, что область значений переменной является непрерывной. Если речь будет идти о двух уровнях доступности, то черту будем опускать: t = t
Как осуществляется переход аргумента с одного масштабного уровня на другой? В математическом анализе можно обойтись без постановки данного вопроса. Нам достаточно знать, что каждому значению х из области (2) соответствует свое значение у из той же области. А как происходит переход от одного значения х к другому — этот вопрос стоит уже вне математического анализа. Однако если х — это время, а у — пройденный путь, то функцию у = f (х) мы представляем себе как описание процесса, который разворачивается постепенно. Любое углубление в эту тему приводит к парадоксам Зенона. Полностью они не разрешены до сих пор. В «рабочих вариантах» теорий считается, что если у нас есть одномерный континуум, то проблема непрерывного движения уже как-то решена. Например, пусть у = х2, где у и х — безразмерные скорость и время. Тогда пройденный путь равен
a 3
j х 2 йх = —. (4)
03
Результат нас вполне устраивает без обсуждения проблемы, каким же образом увеличивается аргумент, проходя при этом бесконечное число шагов. Главное, что существует предел некоторых выражений, которые мы и принимаем за результат (4).
В неархимедовом анализе также есть класс функций, для которых имеют место результаты вида (4). Например, ниже будет показано, что
