Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
s* = limit sv = limit limit Av (a) = limit Av (v). (4)
V V V m V V V
Теорема 12.3. Если
limit sv > 0,
v—от
то найдется «натуральное» Л такое, что при v > Л будут иметь место следующие неравенства: sv > 0.
Доказательство следует из теоремы 5.3 и равенства (4).
§ 13. Сравнение предела в смысле limit с пределом классического анализа lim
Во-первых, оба предела обладают одинаковыми арифметическими свойствами:
limp + 4n) = lim Pn + lim qn,
П—от n—от n—от
limit(Av + Bv) = limit Av + limit Bv
и др. Во-вторых, есть аналогия и в характере сходимости. Если Av — s, то
limit(s - Av) = 0
vv
и, следовательно, разность | s - Av | с увеличением v становится меньше сколь угодно малого бесконечно малого числа 1.
Таким образом, понятие предела limit в области существенных чисел аналогично понятию предела lim в области вещественных чисел. Есть также аналогия и в соответствующих теоремах и их доказательствах.
§ 14. Наличие двух типов переменных (т.е. неактуальных) бесконечно малых величин
В анализе-1 сначала вводится понятие предела последовательности, а затем выделяется особый класс последовательностей, предел которых равен нулю. Последовательности, принадлежащие к этому классу, называются бесконечно малыми величинами. Коль скоро речь идет о последовательностях, то название можно было бы уточнить и говорить о «переменных бесконечно малых величинах». Так как актуальных бесконечно малых величин в классическом анализе нет, то указанное уточнение, как правило, не используется. В неархимедовом анализе такое уточнение необходимо, так как здесь есть актуальные бесконечно малые величины E, E2 и др., которые во всех вычислениях используются «на равных» с обычными числами типа 1/3, p или е.
Определение 14.1. Несчетную последовательность (порядкового типа 2)
Xi,X2,...X w ,...X V,...
будем называть переменной бесконечно малой величиной типа 2, если
limit XV = 0.
Определение 14.2. Счетную последовательность (порядкового типа 1)
Xi,X2,...X n,...
будем называть переменной бесконечно малой величиной типа 1, если
Lim Xn = 0.
w
Будем использовать также различные вариации указанных названий, например вместо номера типа будем указывать на тип предельного перехода или характер последовательности. Там, где возможно, будем опускать даже уточнение «переменная» бесконечно малая величина.
Определение 14.3. Бесконечно малые типа 2 YV, XV или типа 1
Yn, Xn будем считать эквивалентными, если
Y Y
limit = 1 или Lim = 1.
v^от X V n^rn X n
Для не эквивалентных бесконечно малых можно ввести их шкалу по образцу анализа-1. Бесконечно малые типа 2 аналогичны бесконечно малым классического анализа. Поэтому все определения анализа-2, связанные с пределами (непрерывность и др.), могут быть изложены на языке бесконечно малых типа 2. Для бесконечно малых типа 1 аналога в классическом анализе нет. Это связано с тем, что для «переменных бесконечно малых величин» операция типа lim (от - xn) не определена, хотя сама операция lim xn = от имеет некоторые общие
П^-от
черты с операцией Lim анализа-2.
Примеры.
10. Эквивалентные бесконечно малые типа 2:
X = 1 Y = V
XV = - , YV = ~2----•
V V2 + 1
20. Не эквивалентные величины типа 2:
v 1 „ 2 w2 Ew 1
X V =-, Yv = - или --------, ----, —.
V V V V V
30. Эквивалентные бесконечно малые типа 1:
Xn = w - n; Yn = (w - n) + (w - n)2;
X „ = - - E; Y„ = - - E +
- - E
2
n n
40. Не эквивалентные бесконечно малые типа 1: X n = w - n, Yn = w (w - n).
§ 15. О точных гранях ограниченных числовых множеств. О неархимедовом аналоге леммы Больцано — Вейерштрасса
1. Точные грани бесконечных множеств
В классическом анализе имеет место следующая теорема: любое ограниченное сверху множество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань. Если множество сверху не ограничено, то в качестве
точной верхней грани берется несобственное число +<». Например, точной верхней гранью совокупности чисел
Xn = 1 - -, (1)
n
где n = 1, 2, 3..., является число 1. Точной верхней гранью совокупности
Xn = n2 (2)
считается число +<» и т.д. Данная теорема является довольно простым следствием принятой концепции вещественного числа. Однако можно сказать и по-другому: утверждение о существовании точной верхней грани является составной частью самой концепции вещественного числа. (При аксиоматическом изложении теории вещественных чисел наличие точной грани постулируется как аксиома [102].)
