Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 35

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 124 >> Следующая

As = w - 10s > 0.
Однако переход к пределу приводит к тому, что знак неравенства меняется на противоположный:
LimAs = w - 10 Lims = - 9w < 0.
s —w s
Выясним условие, при котором в неравенствах предельный переход возможен. Пусть начиная с некоторого номера М для любого s > M имеют место неравенства
As = Lim f (s, n) > 0, (12)
s n— w
где f (s, n) — базовые последовательности чисел As. Следовательно, для любого фиксированного s > M существует конечное натураль-
ное число N(s) такое, что при n > N(s) выполняются неравенства f (s, n) > 0.
Теорема 9.1. Для того чтобы из неравенств (12) следовало неравенство
Lim A s > 0,
s ^w
необходимо и достаточно, чтобы существовало конечное натуральное число М' такое, что при любых s > M' имели место условия
N(s) < s. (13)
• Доказательство следует из диагонального определения повторного предела (11):
A1 = Lim{f(U), f(1,2)...f(1,n)...} > 0,
A2 = Lim{f (2,1), f (2,2)... f (2,n)...} > 0,
As = Lim{f (s,1), f (s,2)... f (s,s)...} > 0.
Примеры.
10. Пусть As = w - 10s. Ясно, что As > 0, так как As = Lim(n - 10s)
n^w
и n - 10s > 0 при n > 10s. Значит, N(s) = 10s. Однако условие (13) нарушается и переход к пределу в неравенствах невозможен.
20. Если As = 5w - 4s, то N(s) = - s < s.
Условие (13) выполняется и, следовательно, переход к пределу в неравенствах становится возможным. ¦
§ 10. Пределы счетных последовательностей существенных чисел
Необходимость во введении такого понятия возникает уже с первых шагов построения неархимедова анализа. Например, пусть требуется вычислить положительный корень уравнения
х2 - w = 0, х > 0.
Так как w = Lim n, то естественным кандидатом на роль корня было
n
бы число LimVn. Проблема, однако, состоит в том, что в нашем ар-
n
сенале таких чисел пока нет. В исходном определении под знаком
Lim фигурируют только абсолютные рациональные числа. Формальное расширение определения Lim an трудностей не представляет. Зададим некоторую последовательность существенных чисел порядкового типа 1:
S1, S2, sз, — ss ,.... (1)
Под символом Lim ss будем понимать совокупность последовательностей, отличающихся от последовательности (1) конечным числом членов. Все операции и отношения порядка введем по аналогии с определениями гл. 1. Отсюда сразу следует, что квадрат числа LimVn
n
равен w. Но в таком виде полученный результат мало что дает. Нужно выяснить главный вопрос: принадлежит ли объект LimVn к об-
n
ласти уже определенных выше существенных чисел или нет? Иными словами, является ли область существенных чисел замкнутой по отношению к операции извлечения корня из положительного числа или нет?
В более общей формулировке задача ставится следующим образом. Пусть задана последовательность существенных чисел (1). Требуется придать смысл символу s* = Lim ss и выяснить, можно ли его
ss
отождествить с каким-либо существенным числом.
Естественно потребовать, чтобы конструкция объекта s* удовлетворяла следующим условиям:
10) условию согласованности: если последовательность ss сводится к последовательности рациональных чисел rs, т.е. ss = rs, то объект s * должен совпадать с элементарным числом Lim rs;
ss
20) если &* = Lim &s другой объект той же природы, что и s*, то
ss
должны иметь место равенства
s* ± &* = Lim(ss ± &s); s* • &* = Limss • &s,
s s
*
— = Lim — при & s ф 0, & * ф 0;
&* s & s
30) если взять две стационарные последовательности {s*}: одну порядкового типа 1, а другую порядкового типа 2, то должны иметь место равенства
т • * * 1 • • j * *
Lim s = s , limit s = s .
s V
Приступим теперь к построению объекта s * = Lim ss. Начнем
ss
с того, что посмотрим на определение существенного числа с практической точки зрения. Что значит задать некоторое существенное число s? Это значит, что необходимо задать одну фундаментальную последовательность элементарных чисел порядкового типа 2:
Aь A2, — An,...Aw,... AV,...Am,... . (2)
Зависимость от индекса v удобнее указать в виде аргумента: Av = A(v). Аргумент v представляет собой «натуральное» число
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed