Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
v = Limv(k). Здесь v(k) — уже обычная функция натурального аргу-
k
мента к = 1, 2, 3,.... Значения функции являются также натуральными числами. Более того, вид самой функции определяется специальным списком, рассмотренным в гл. 1 (v принадлежит продолженному натуральному ряду).
Таким образом, можно записать
Av = A [v(1), v(2),...v(k),...].
Далее, каждый член последовательности (2) представляет собой некоторое элементарное число:
Av = Limf [v(1), v(2),...v(k),...;m].
m
Здесь f — конечные рациональные приближения; номер приближения m = 1, 2, 3,... указан в виде отдельного аргумента. Таким образом, задать существенное число
s = limit Av = limit Lim f [v(1),... v(k),...; m]
v v m
— это значит задать закон
f [v(1),v(2),v(3)...v(k),...;m].
Данный закон можно рассматривать либо как функционал от функции v(k) и натурального аргумента m, либо как функцию от бесконечного числа аргументов v(1), v(2)... v(k)... и еще от одного аргумента m. При переходе к (1), т.е. к последовательностям подобных законов, у функции f появляется еще один аргумент s, который будем указывать в виде индекса:
ss = limit As (v) = limit Lim fs [v(1), v(2),...; m], (3)
v v m
Наглядно соответствие между существенными числами ss и их приближениями As (v) можно изобразить в виде следующей таблицы:
A 1(1) A2(1) - • A s (1) - B(1)
A 1(2) A 2 (2) - • A s (2) - B(2)
A1(v) A2 (v) - • As(v) - B(v)
A1(m) A 2(g) - • a s (m) - B(m)
s 1 s 2 - • ss - *
s
Устройство таблицы очевидно: при движении вдоль фиксированного столбца s сверху вниз мы постепенно приближаемся к числу ss. Наша задача состоит в том, чтобы найти способ перехода к пределу Lim вдоль последней горизонтальной строки, т.е. вычислить s * = Lim ss. Для последовательности ss данная операция пока не
s s s
определена. Однако она определена для приближений ss. Поэтому естественно вначале перейти к пределу по строкам приближений и полученные пределы рассмотреть как приближения объекта s *.
10. Предположим, что для любого фиксированного v существует предел
B(v) = Lim As (v). (4)
s
Условие 10 исключает последовательности типа
As (v) = + —v—.
w - s 2 v + 1
В соответствии с диагональным оределением 9.1 предел (4) равен B(v) = LimLimfs [v(1),v(2),...;m] = Limfs [v(1),v(2),...;s], (5)
s m s
Следовательно, условие 10 означает, что начиная с некоторого конечного значения s = so приближения
fs [v(1),v(2),...;s]
должны существовать. Таким образом, переход к пределу Lim по каждой из строк таблицы приводит к некоторой последовательности порядкового типа 2:
B(1), B(2),...B(w),...B(v),...
(правый столбец таблицы). Естественно поставить вопрос, при каких условиях данная последовательность будет фундаментальной?
Каждая из последовательностей As (v) при фиксированном s является фундаментальной. Последнее означает, что для любого наперед заданного «натурального» числа Г найдется такое «натуральное» число L(s), что для любых v, m > L(s) имеют место неравенства
|As (v) - As (m)| < 1/Г. (6)
Любая подпоследовательность фундаментальной последовательности является фундаментальной и сходится к тому же самому пределу, что и исходная последовательность. Поэтому скорость сходимости фундаментальной последовательности можно менять по собственному усмотрению.
20. Примем, что с самого начала приближения чисел ss таковы, что условие (6) выполняется при любых v, m > Л, где Л зависит от Г, но не зависит от s. Для выбора Л можно использовать позиционную систему записи чисел ss (см. § 18).
Рассмотрим теперь условия (6) подробнее. Перейдем в них к рациональным приближениям
Lim \fs [v (1), v(2),...; m] - fs [m (1), m (2),...; m] | < Limg(m). (7)
mm
Здесь g(m) — приближение числа 1 / Г, v(1), v(2),... m(1),m(2),--- — приближения чисел v,m, т.е.
Lim g(m) = —, Lim v(m) = v, Lim m(m) = mm Г m m
Неравенства (7) означают, что для любого заданного s найдется конечный номер N(s) такой, что для любого
m > N(s) (8)
будут иметь место следующие неравенства:
\fs [v(1), v(2),...; m] - fs [m (1), m(2),...; m] \ < g(m). (9)
Предположим теперь, что имеет место следующее условие:
30. Для известного счетного набора чисел ss можно указать такой набор их приближений, что найдется такое конечное значение * ^ ^
s , что для любого s > s будет иметь место неравенство
