Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
as = lim rsn.
П—от
Следовательно, вычисление предела lim as — это всегда вычисление
s ——от
повторного предела. Формула, аналогичная формуле (8), имеет вид lim lim rsn = lim г,,. (10)
s —отп—от m—от
Ясно, что любое разумное определение предела для стационарной последовательности нулей должно давать число нуль: lim0E™ = 0вещ.
2 s ——от
Пусть rsn = s/п . Тогда формула (10) действительно дает число 0вещ.
Выберем теперь из состава числа as последовательность rsn = s / n. Для любого фиксированного s имеем
lim s = 0вещ. n—от п
Однако в данном случае формула (10) также приводит к парадоксу: lim lim s = lim 0вещ = lim m = 1.
s —отп—от n s —от m—от m
Причина этого хорошо известна. Все дело в том, что те последовательности, которые мы выбрали в качестве представителей классов эквивалентности as, сходятся к своим пределам недостаточно быстро. Поэтому на выбор представительных последовательностей должно быть наложено специальное ограничение.
Для наших целей решение данной проблемы удобно описать таким образом. Вначале делаем выбор последовательностей rsn,
руководствуясь любыми правилами без каких-либо ограничений. Подсчитываем диагональный предел (10). Затем каждую из последовательностей форсируем, т.е. переходим к ее подпоследовательности при фиксированных значениях s = const. Опять подсчитываем диагональный предел. Возможно, что полученное значение будет отличаться от предыдущего. Однако в конце концов мы придем к такому значению диагонального предела, которое при дальнейшем форсировании уже не меняется. Данное значение мы и будем считать пределом последовательности вещественных чисел.
Вернемся теперь к нашему случаю. Непосредственно процедуру форсирования здесь использовать нельзя, так как любое форсирование нестационарной последовательности {an} приводит к изменению элементарного числа Lim an. Тем не менее основную идею, связан-
nn
ную с учетом скорости сходимости, можно использовать и здесь.
По определению элементарное число — это класс последовательностей, которые отличаются друг от друга конечным числом членов. Как описать такой класс? Проще всего задать одну конкретную последовательность и остальные последовательности строить путем изменения первого члена исходной последовательности, затем первых двух членов и т.д. Исходную последовательность будем называть базовой. Предположим, что любое элементарное число, которое фигурирует в наших построениях, задается путем указания именно базовой последовательности. Естественно позаботиться о том, чтобы базовые последовательности чисел
A ± B, A ¦ B, A / B
были получены в результате соответствующих операций с базовыми последовательностями чисел А и В.
Теперь главное. Если в каких-либо построениях требуется выбрать последовательность, которая представляла бы класс последовательностей, образующих элементарное число А, то всегда должна выбираться последовательность, являющаяся базовой. Например, если речь идет о базовой последовательности числа w, то это может быть последовательность an = n (именно она фигурирует в определении числа w). Однако в качестве базовой можно было бы взять и последовательность
= J0, 1 < n < 1010, an = [n, n > 1010 .
Главным является только то обстоятельство, что базовая последовательность зафиксирована раз и навсегда. Поэтому никаких парадоксов типа (9) теперь возникнуть не может.
Введенное выше правило выбора полностью решает проблему предела последовательности элементарных чисел. Примем следующее Определение 9.1. (Диагональное определение повторного предела). Пусть задана счетная последовательность элементарных чисел
A j, A 2, A 3... As,..., As = Lim f (s, n).
n—w
Под ее пределом Lim будем понимать элементарное число
A * = LimAs = Lim f (m, m), (11)
s—w m— w
где последовательности f (s, n) являются базовыми последовательностями чисел As.
В заключение рассмотрим вопрос о переходе к пределу Lim в неравенствах.
Пусть начиная с некоторого номера М имеют место неравенства
rs > 0,
где rs — рациональные числа. Тогда можно утверждать, что и
Lim rs > 0.
s —w
Таким образом, в указанных неравенствах переход к пределу возможен. Доказательство непосредственно следует из определения. Возьмем теперь последовательность элементарных чисел
Ai,A2,... As,... .
Пусть As > 0. Требуется выяснить, в каких случаях в цепочке неравенств As > 0 можно перейти к пределу Lim. Сразу ясно, что это
ss
можно делать не всегда. Например, для любого фиксированного s имеет место неравенство
