Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 38

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 124 >> Следующая

Limrs (1) = Lim(1,0; 1,4; 1,7; 2,0,...).
ss
Здесь с одним десятичным знаком записаны приближения для
V1 л/2, V3 л/4,.... На втором месте стоят приближения тех же чисел с двумя десятичными знаками и т.д. Далее на месте номер v = w стоит элементарное число
Limrs (s) = Lim(1,0; 1,41; 1,732;...).
ss
Здесь под знаком Lim на месте номер s стоит приближение числа Vs с s десятичными знаками. Аналогично для числа с индексом v = w2
под знаком Lim на месте номер s будет стоять приближение числа Vs с s2 десятичными знаками после запятой и т.д. и т.д. Построенная последовательность является фундаментальной и, более того, монотонно возрастающей и ограниченной. Значит, она действительно определяет некоторое существенное число t. Подсчитаем теперь разность
w - t2 = limit Lim{s - r} [v(s)]}.
vss
Начнем с разностей 2 - r22 (m):
2 - 1,42 = 0,04; 2 - 1,412 = 0,0119; 2 - 1,4142 = 0,000604,....
Здесь в первой разности после запятой стоит один нуль и затем идут значащие цифры, в третьей разности стоят три нуля и затем идут значащие цифры. Подправим приближение r2(m) так, чтобы и во второй разности стояли два нуля, а затем шли значащие цифры. Аналогичные поправки сделаем и для других приближений. Обозначения для приближений сохраним прежними. (Очевидно, что
внесенные поправки никаких выводов не затронут.) В соответствии с изложенными построениями числу w - t2 отвечает следующая последовательность порядкового типа 2:
10-1 • «(1), 10 2 • R(2),...10^w • R(w)...10-v • R(v),..., (14)
где
R(1) = Lim 10(s - rs2 (1)),...
S
R(w) = Lim 10w [s - rs2(s)j =
s
= Lim[10(1 - r2(1)), 102(2 - r22(2))...10s (s - ^(s)),...],... .
s
Ясно, что для любого v
0 < R(v) < 1.
Следовательно, последовательность (14) сходится к нулю. Поэтому t2 = w, что дает основание для утверждения о том, что t = Vro. (По построению t > 0. Это обстоятельство здесь также использовано.)
Перейдем теперь к общему случаю. Выше символом ss = limit As (v)
V
был обозначен класс эквивалентности, содержащей последовательность As (v). Ничто не мешает символ limit трактовать как предельный переход от As (v) к ss. Тогда можно показать, что
I As (v) - s s | < g (15)
при v > Л(у). Здесь g = 1 / Г — сколь угодно малое бесконечно малое наперед заданное число. (Подробнее свойства операции limit будут рассмотрены ниже.) При указанных выше условиях 10-30 в неравенствах (15) можно перейти к пределу Lim. В результате получим | B(v) - s*|< g. С другой стороны, таким же свойством обладает и число t = limit B(v):
I B(v) - 11 < g
при v > Л(g). Из последних двух неравенств заключим, что
II - s *| < 2g.
На основании Второй аксиомы разрешения отсюда следует, что t = s *. Подведем итог.
Теорема 10.2. Если
sj, s2,... ss ...,ss = limitAs (v)
V
— последовательность существенных чисел порядкового типа 1 и выполняются условия 10—30, то
Lim limit As (v) = limit Lim As (v). (16)
s v vs
Таким образом, при выполнении известных условий операторы limit и Lim являются перестановочными. В более рабочем варианте формула (16) выглядит так:
Lim limit Lim fs [v(1), v(2),... m] =
s v m (17)
= limit Lim fs [v(1), v(2),... s].
v s
Таким образом, при выполнении некоторых ограничений предел Lim ss существует и равен вполне определенному существенному числу. Формула (17) значительно облегчает технику вычислений и позволяет ввести множество чисел, с которыми можно работать без обращения к их приближениям. К таким относятся числа
л/Ё, еE, wE, еw
и т.д. Например, по определению
wE = Lim s/s. (18)
s
Пусть р s (m) — рациональное приближение sJs с m десятичными знаками. Тогда в соответствии с формулой (17)
wE = limit Lim рs [v(s)]. (19)
v s
Ясно, что все выкладки с представлением (18) гораздо удобнее, чем с приближениями (19).
§ 11. Сравнение предела в смысле Lim с понятием предела классического анализа
Предел в смысле Lim обладает теми же арифметическими свойствами, что и классический предел lim. Например,
Lim(an + bn) = Liman + Limbn.
Рассмотрим вопрос о характере сходимости последовательности {an} к своему пределу
A = Lim an. (1)
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed