Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
2 назовем именем 0сущ. Совместим теперь две линейки так, чтобы центр малого шара 0сущ попал точно в центр большого шара 0вещ, а остальные шары расположились так, как показано на рис. 2.2, т.е. контакт между большими шарами совпал бы с одним из контактов между малыми шарами. (Значит, отношение диаметров шаров должно быть числом нечетным.) Маленьким шарам мы будем давать уже два имени: первое — индивидуальное имя, причем малый шар, который находится точно в центре большого шара а, будем называть
а*-ядром вещественного числа а. Второе имя — неиндивидуальное: если малые шары попадают в большой шар а, то всем им присваивается одно и то же имя а.
Измерим теперь некоторый отрезок линейкой 2. Если будем пользоваться индивидуальными именами, то получим результат более точный, чем при измерении линейкой 1. Но если пользоваться неиндивидуальными именами, то результат будет, очевидно, тем же, что и при измерении линейкой 1.
Теперь естественно взять линейку номер 2 и удалить из нее все шары, которые оказались не в центре больших шаров. Такую конструкцию можно назвать линейкой 1'. Функционально она ничем не отличается от линейки 1. Однако теперь у нее шары между собой не контактируют. Поэтому между ними можно помещать другие такие же шары и постепенно идти к линейке 2. Ясно, что линейка 1' соответствует подобласти области существенных чисел, изоморфной полю вещественных чисел.
Таким образом, если концепцию Кантора считать именно определением, а не моделью вещественного числа, то о существенных числах можно сказать, что они помещаются «внутри» вещественных чисел. При этом обе прямые — и вещественная, и существенная — являются непрерывными. Если же исходить из аксиоматического определения вещественного числового поля, а построение ядер вещественных чисел рассматривать только как модель для данной системы аксиом, то можно утверждать, что «на самом» деле вещественная прямая непрерывной не является (линейка 1'), но кажется нам такой только в силу степени разрешения, с которой мы на нее смотрим. (Как отмечалось, степень разрешения определяется аксиомой Архимеда и равносильной ей Первой аксиомой разрешения.)
Выводы. 1) область существенных чисел является 10) непрерывной, 20) бесконечномерной и 30) неограниченно простирается во всех своих измерениях; 2) вещественная прямая, рассматриваемая как подобласть области существенных чисел, является 10) непрерывной, 20) бесконечномерной и 30) содержит в качестве своей подобласти и одного из своих измерений числовую существенную прямую. Вдоль данного измерения вещественная прямая простирается неограниченно; вдоль остальных измерений (их можно назвать «боковыми») — только на бесконечно малые расстояния; 3) существенная прямая является 10) непрерывной, 20) одномерной (линейно упорядоченной) и 30) неограниченно простирается вдоль одного своего измерения.
Настоящий параграф посвящен подобласти 2, т.е. вещественной прямой как подобласти области существенных чисел.
Данная подобласть представляет интерес как инструмент для дальнейших исследований, так как по степени сложности она занимает промежуточное положение между весьма сложной областью существенных чисел и линейно упорядоченной существенной прямой. В рассматриваемой подобласти линейный порядок нарушается только на микромасштабных уровнях. На больших масштабах линейный порядок есть. Можно надеяться, что это даст подходящий инструмент для построения моделей пространства и времени, в которых на микроуровнях линейной упорядоченности нет, а на макроуровнях линейный порядок восстанавливается. Подробнее этот вопрос рассматривается в гл. 11.
§ 8. На основе какой числовой системы должен строиться математический анализ?
Классический анализ строится на основе системы действительных чисел. Данная числовая система линейно упорядочена. Поэтому можно говорить не просто о системе действительных чисел, а о действительной числовой прямой.
Насколько далеко от этого образца должна уходить новая теория? Первая позиция сомнений не вызывает: новая теория должна обладать большей разрешающей способностью, чем классический анализ. Для этого мы расщепили действительные числа на элементы — элементарные числа. Расщепление действительного числа нуль дало бесконечно малые числа, расщепление бесконечности — бесконечно большие числа. Расщепление конечных действительных чисел дало конечные элементарные числа. С помощью бесконечных чисел мы продолжили натуральный ряд. Это дало возможность пополнить пространство элементарных чисел и построить неархимедову область существенных чисел. Данную область нельзя назвать числовой прямой, так как она не является линейно упорядоченной. Область представляет собой бесконечномерное пространство, которое «одинаково далеко» простирается вдоль каждого из своих измерений.
В данном пространстве естественным образом выделяются две числовые подобласти. Первая представляет собой не что иное, как обычную действительную прямую. Но теперь мы ее рассматриваем с большим разрешением, чем в классическом анализе. Поэтому у прямой обнаруживаются новые свойства, главным из которых является отсутствие линейного порядка в малом. В одном своем измерении действительная прямая простирается неограниченно далеко. В то же время в бесконечном числе «боковых» измерений (их нали-
