Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Пусть
j 1 = limit Lim(1,0__0; 1,0_),
j2 = limit Lim (0,1...0; 0,1...),
jN = limit Lim (0, ...,1;0,...)
— это базис. Здесь N — размерность и все приближения имеют период N. В приближениях числа j 1 единица стоит на первом месте, на остальных местах — нули. Затем все повторяется. В j 2 единица стоит на втором месте и т.д. Возьмем подпространство пространства элементарных чисел
A = G1j 1 + G2 j 2 +•••¦+ GNjN , где r1...,rN — «натуральные» числа. Дальше, действуя по указанному выше алгоритму, нетрудно построить соответствующую подобласть области существенных чисел. В этой подобласти можно ввести все понятия анализа. Единственное ограничение будет состоять в том, что операции типа exp (аpiw), где а — не рациональное число, из указанной области будут выводить. Поэтому в общем случае необходимо располагать бесконечномерной областью существенных чисел и анализ строить на основе числовой системы общего вида.
Глава 3
Пределы числовых последовательностей
Напомним определение предела, которое дается в классическом анализе. Пусть
Ги r2— rn,... (1)
— фундаментальная последовательность рациональных чисел. Все фундаментальные последовательности разбиваются на классы эквивалентности. Класс эквивалентности, которому принадлежит последовательность rn, обозначается как
а = lim rn. (2)
n—от
Далее о том же самом факте (принадлежности последовательности rn к классу эквивалентности а) говорится по-другому. Сам класс эквивалентности объявляется действительным числом а, а о равенстве (2) говорится так: «действительное число а является пределом последовательности рациональных чисел rn». Последнее выглядит как тавтология, и это действительно так. Однако уже следующий шаг — поиск ответа на вопрос, что является пределом последовательности действительных чисел — приводит, как известно, к содержательной теории. Таким образом, понятие предела строится на основе концепции действительного числа.
В неархимедовом анализе мы будем действовать точно так же. Вернемся к концепции неархимедовых чисел и построим на этой основе теорию пределов. Здесь мы сразу сталкиваемся с принципиально новым моментом. Концепция неархимедовых чисел опирается на два типа классов эквивалентности рациональных чисел. Классы эквивалентности первого типа получаются в результате расщепления действительных чисел (2). Эти классы мы обозначили как
A = Lim rn. (3)
Данная запись означает, что в класс A наряду с другими последовательностями входит и последовательность (1). Далее о факте принадлежности rn к классу A говорилось по-другому. Сам класс эквивалентности A назывался элементарным числом, а о равенстве (3)
говорилось так: «элементарное число A является предметом последовательности рациональных чисел rn в смысле Lim». Это, конечно, тавтология. Задача состоит в том, чтобы, отталкиваясь от определения (3), развить содержательную теорию пределов в смысле Lim.
Далее, классы эквивалентности второго типа состоят из несчетных последовательностей элементарных чисел:
A1, A2,...An,...Aw,...Av,... . (4)
Класс эквивалентных фундаментальных последовательностей, который включает последовательность (4), обозначался как
s = limit AV. (5)
VV
Иначе о факте принадлежности последовательности (4) к классу (5) можно сказать так. Класс s назовем существенным числом, а о равенстве (5) скажем, что s есть предел (в смысле limit) последовательности (4). На этом шаге данное утверждение также является тавтологией. Задача состоит в том, чтобы развить теорию пределов в смысле limit.
Итак, концепция неархимедовых чисел приводит к понятиям предела в двух совершенно различных смыслах: в смысле Lim и в смысле limit. Далее будет видно, что этот факт связан исключительно с многомасштабностью неархимедовой прямой. Оба понятия пределов дополняют друг друга.
Отметим также, что понятие предела Lim применимо только к счетным последовательностям, а понятие limit — только к несчетным последовательностям. Это позволяет упростить изложение. Если говорится о пределе счетных последовательностей, то можно не подчеркивать, что речь идет о пределе в смысле Lim. Точно так же, говоря о пределах несчетных последовательностей, можно опускать ссылку на то, что предел берется в смысле limit.
Перейдем к реализации указанной программы.
§ 9. Пределы счетных последовательностей элементарных чисел
В определении элементарного числа A = Lim rn оператор Lim применяется к последовательности рациональных чисел. Во многих случаях возникает необходимость применения данного оператора к последовательностям самих элементарных чисел
Ab a2-, ^ ... ^ ... . (1)
