Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
N(s) < s,
где смысл N(s) дается условиями (8), (9).
В этом случае можно утверждать, что для любого s > s *
\fs [v (1), v(2),...; s] - fs [m(1), m(2),...; s] \ < g(s). (10)
В данных неравенствах fs, g(s) — конечные рациональные числа, поэтому можно перейти к пределу Lim. Сопоставляя (10) и (5), прихо-
s
дим к выводу о том, что при v, m > Л
|B(v) - B(m)| < 1/г.
Таким образом, последовательность B(v) является фундаментальной. Фундаментальной последовательности соответствует некоторое существенное число, которое обозначим через t:
t = limit B(v). (11)
v
Следовательно, если выполняются указанные выше условия 10-30, то объект, который можно в будущем отождествить с s , существует.
Рассмотрим теперь вопрос о единственности данного объекта. В силу линейности операторов limit и Lim вопрос о единственности сводится к вопросу о несуществовании значений t ф 0 при условии, что ss = 0 для каждого значения s.
Итак, пусть для любого s имеем ss = 0. Обратимся к равенству (3) и пройдем по всей цепочке выкладок к равенству (11). Легко показать, что в результате мы получим t = 0. Следовательно, единственность есть.
Отметим, что изначально у нас заданы только существенные числа ss, т.е. заданы именно классы эквивалентности соответствующих последовательностей. Данные классы задаются через указание некоторых их конкретных представителей. С другой стороны, для построения объекта t мы пользовались также конкретными представителями классов последовательностей ss. Легко понять, что представители, описывающие ss, в некоторых случаях могут не годиться для построения предела t. Например, пусть требуется вычислить предел Lim стационарной последовательности
0сущ , 0сущ , ... 0сущ ,... *
Здесь ss = 0сущ при любом s = 1,2,.... В принципе, имеем
ss = limit-1---= limit Lim----1--= 0. (12)
v (w - s )v v m (m - s )v(m)
Однако в данном случае диагонального члена s = m просто не существует. Другой пример: при фиксированном s
ss = limit vs-w = limit Lim [v(m)]s-m = 0. (13)
v v m
Если проигнорировать условие 30 и вычислить t, то мы получим заведомо неверный результат: t = 1. Условие 30 как раз исключает подобные варианты. Ясно, что, переходя к другим представителям
классов эквивалентности (12), (13), легко добиться выполнения условий 10, 30 и получить необходимый предел.
Подведем итог.
Теорема 10.1. Если
s 1, s2,".
есть последовательность существенных чисел порядкового типа 1, т.е. ss = limit Lim fs [v(1), v(2)...; m]
v m
и выполняются условия 10-30, то предел
t = limit Lim Lim fs [v (1), v(2)...; m]
v s m
существует, единственен и равен
t = limit Lim fs [v (1), v (2)...; s].
v s
Далее необходимо рассмотреть вопрос о том, какие есть основания для того, чтобы предел t отождествить с объектом Lim ss. Начнем с конкретного примера. s
Вернемся к задаче построения объекта 4W. Положим ss = 4s. Пусть rs (m) — рациональное приближение числа 4s с m десятичными знаками после запятой.
Тогда существенное число 4s можно описать с помощью следующей последовательности порядкового типа 2:
rs (1), rs (2),... rs (m),... Lim rs (m),... ,
m
Limrs (m2),... Limrs [v(m)],... .
m s m s Устройство данной последовательности является чрезвычайно простым. Например, для s = 2 на первом месте стоит рациональное число 1,4, на втором и третьем — 1,41 и 1,414, на m-месте стоит число 1, 41421 .с m десятичными знаками после запятой и т.д. Далее на месте номер w стоит элементарное число
Lim r2(m) = Lim (1,4; 1,41; 1,414,...),
m
2
на месте номер w — число
Lim r2(m2) = Lim(1,4; 1,4142; 1,414213562;...).
m
Здесь под знаком Lim на первом месте стоит приближение 42 с одним знаком, на втором месте — с четырьмя знаками, на третьем месте — с девятью десятичными знаками и т.д. Наконец, на месте номер
v = Limv(m) стоит число Limr2 [v(m)]. Таким образом, в рассматриваемом примере функционал, записанный в равенстве (3), сводится к одной функции одного переменного:
fs [v(1),v(2),...v(k),...;m] = rs [v(m)].
Данный случай относится к числам, которые являются ядрами вещественных чисел. Итак, в нашем примере
ss = 4s = limit Lim rs [v(m)]
v m
и, значит,
t = limit Lim rs [v(s)].
v s
Последовательность приближений существенного числа t устроена следующим образом: на первом месте v = 1 стоит элементарное число
