Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Адекватной представляется следующая картина, изображенная на рис. 3.1.
Слева изображена пушка. На ее ствол нанесены деления, соответствующие расстоянию от основания ствола. Пушка стреляет ядрами. Ее устройство позволяет задавать разные законы движения
тельность
(Исключением являются только
Lim n = w, Lim (w - n) = 0.
X
0 1 2
n
CO-1 (0 (0+1
ядра по стволу: L = L (t), L — расстояние от начала ствола, t — дискретное время t = 1, 2, 3.... Ядро сначала движется по стволу, затем покидает его и приземляется на каком-то расстоянии от точки старта. Ясно, что ядро, которое разгоняется быстрее, например по закону L (t) = t3, должно приземлиться дальше, чем ядро, которое разгоняется медленнее, например по закону L (t) = t. Первое ядро достигнет точки X = w3, второе — точки X = w. Как теперь представить полет ядра с момента покидания им ствола до момента приземления? Точнее всего представить его как прыжок через бездну, которая разделяет между собой качественно различные уровни неархимедовой прямой.
Например, в рассматриваемом случае — область конечного и область бесконечного.
Таким образом, сходимость в смысле Lim можно представить как полет ядра, которое разгоняется по закону X = X(n) и в своем полете достигает качественно нового уровня:
X* = LimX(n).
Указанный образ помогает «примириться» и с парадоксальным на первый взгляд фактом: возможным изменением знака неравенств в результате операции предельного перехода Lim.
На рис. 3.2 изображены две пушки. Ствол первой располагается на отрезке 1, 2,...n,..., ствол второй — на отрезке 2w + 1, 2w + 2...2w + n,.... Таким образом, вторая пушка располагается впереди первой. Пусть первая пушка является более дальнобойной, чем вторая. Причем различие в дальнобойности превышает расстояние между пушками. Тогда ядро из первой пушки упадет дальше, чем ядро из второй пушки.
На этих образах смена знака неравенства n2 < 2w + n при переходе к пределу Lim выглядит вполне естественной. Пушка, расположенная левее, имеет дальнобойность до точки w2, так как Limn2 = w2. При этом пушка, расположенная правее, имеет дально-
n
О 1 4 и2 2со 2ю+и Зю со2
бойность w. Ядро из нее достигает точки 3w: Lim(2w + n) = 3w. Причем вклад в общее расстояние, равный 2w, связан только с расположением пушки, а вклад величины w — с собственной ее дальнобойностью.
§ 12. Пределы несчетных последовательностей существенных чисел
Пусть
s 1, s2,...sw,...sm,...sv,... (1)
— несчетная последовательность существенных чисел, где
s v = limit Av (m). (2)
m
Определение 12.1. Примем по определению, что последовательность (1) сходится к числу 0сущ, если для любого наперед заданного числа Г из продолженного натурального ряда найдутся числа N(r) и М(Г, v) из этого же ряда такие, что при любых
v > N(G), m > м(г,v) (3)
будут иметь место неравенства
I Av (m)l < 1/г.
Данный факт будем фиксировать записью
limit s v = 0
vv
и говорить, что число 0 является пределом последовательности (1).
Определение 12.2. Последовательность (1) называется сходящейся, если найдется такое существенное число s *, что limit (sv - s *) = 0.
vv
Число s* будем считать пределом последовательности sv и записывать sv ^ s*, или s* = limit sv.
v
Доказательство корректности принятых определений не представляет никаких трудностей. Легко также доказать эквивалентность определения 12.2 и следующего определения предела.
Определение 12.3. Существенное число s* называется пределом несчетной последовательности (1), если для любого Г можно найти такое Л, что при v > Л
|sv - s*| < 1/Г, где Г, Л принадлежат продолженному натуральному ряду.
Определение 12.4. Несчетная последовательность существенных чисел (1) называется фундаментальной, если для любого числа Г из продолженного натурального ряда найдется число Л, принадлежащее тому же ряду, такое, что для любых m,v > Л
I sv - Sm | < 1/Г.
Теорема 12.1. Необходимым и достаточным условием сходимости несчетной последовательности существенных чисел является ее фундаментальность.
Теорема 12.2. Любая несчетная подпоследовательность сходящейся последовательности является также сходящейся и имеет тот же самый предел, что и исходная последовательность.
Все доказательства нетрудно провести, используя схему [101]. Из последней теоремы следует, что всегда можно выбрать Av (а) в равенстве (2) так, чтобы предел последовательности (1) можно было вычислять как предел диагональной последовательности
