Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 39

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 124 >> Следующая

nn
Равенство (1) можно переписать в следующем виде:
Lim (an - A) = 0. (2)
n
Аналогичное равенство имеет место и в области вещественных чисел: если а = lim an, то
п—от lim (an - a) = 0. (3)
n —— от
Поэтому в тех выкладках, где используются только арифметические свойства пределов и свойства (2) или (3), результаты, полученные с применением операции lim, будут аналогичны результатам, полученным с применением операции Lim.
Необходимо, однако, подчеркнуть, что сходимость последовательности {an} в (2) и (3) носит совершенно различный характер. Например, если a — конечное число, то (3) означает, что модуль разности (an - a) неограниченно уменьшается. Если же a = от, то (3) означает, что an — неограниченно увеличивается.
Предел (2) дает более тонкий результат.
Примеры.
10. Возьмем две последовательности = 1 и = 1
an , bn 2 .
n n
Операция lim не различает их предельное поведение: в обоих случаях предел равен 0:
lim - = lim-^ = 0.
n—от n n—от n
Операция Lim пределы an и bn уже различает:
Lim— = E, Lim-^ = E2.
n n n n 2
20. Аналогичное различие наблюдается и при описании бесконечных пределов. Пусть
an = n, bn = n2.
С точки зрения классического анализа обе последовательности стремятся к одинаковому пределу — бесконечно большому вещественному числу от:
lim n = от, lim n2 = от.
n—от n—от
В неархимедовом анализе мы получаем различные пределы:
Lim n = w, Lim n2 = w2.
n n
Таким образом, в первом примере мы из области конечных рациональных чисел с помощью операции lim попадаем в одно и то же число 0вещ, а с помощью операции Lim — переходим к различным бесконечно малым числам E и E2. Аналогично во второй группе равенств с помощью операции lim мы «совершаем прыжок» в одну и ту же бесконечно удаленную точку от, в то время как с помощью операции Lim «совершаем прыжки» в различные бесконечно большие числа.
Интересно отметить, что операция lim не позволяет сделать «обратный прыжок», т.е. «прыжок» из бесконечности в конечную точку. Результатом любой операции типа
lim(1 - n + lim n) = lim (1 - n + от)
n——от n——от n—— от
будет неопределенность. Между тем операция Lim позволяет совершить «обратный прыжок» от бесконечно большого числа. Например,
Lim (1 - n + Lim n) = Lim (1 - n + w) = 1.
n n n
Есть еще одно, может быть, самое важное различие в операциях lim и Lim. Первая операция применима только к фундаментальным последовательностям рациональных чисел, вторая же — к любым последовательностям, включая, конечно, и фундаментальные. Это приводит к тому, что в области существенных чисел естественным образом появляются делители нуля, двойные единицы и множество других объектов, которые образуют многомерное пространство. Последнее обстоятельство значительно расширяет возможности математического аппарата.
30. Можно указать еще одну общую черту у пределов в смыслах lim и Lim. И в том и в другом случае применение процедуры предельного перехода приводит к появлению нового качества. Например, от последовательности рациональных чисел с помощью процедуры lim можно перейти либо к иррациональному числу, либо к бесконечности на вещественной прямой:
lim с 1Л n lim с 1 11
1 + = e ; 1 + --- +.. . + ---
П---от nj n---от 2 nj
Аналогично предельный переход Lim позволяет перейти от вещественного уровня к любым мегауровням:
Lim n = w, Lim nn = ww.
Далее операция lim может быть применена к неравенствам. Правда, операция lim может ослабить неравенство: из строгого неравенства можно получить равенство, но не более того. Как было показано выше, операция Lim может «идти дальше» и изменить знак неравенства на противоположный: w - n2 > 0, но Lim (w - n2) <
Далее, если некоторая последовательность {an} сходится к вещественному числу а, то к этому числу сходится и любая подпоследовательность {an}. Для пределов Lim это принципиально не так: например, послед дится к числу E, а ее подпоследова-
стационарные последовательности.)
В заключение попытаемся неформально понять, какой образ отвечает понятию «сходится» в смысле Lim. В классическом анализе ситуация является ясной: «сходится» — это значит неограниченно приближается в смысле уменьшения модуля разности | а - an |.
Для сходимости в смысле Lim ситуация другая. Пусть
Здесь при любом фиксированном n значение w - n больше любого конечного натурального числа. Поэтому прежнее представление о сходимости необходимо чем-то заменить.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed