Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Q2 = (Q1 - P1) (5* + Lim b *(n)J + .
Отсюда
Q2 - P2 = (Q1 - P1) Lim(р *(n) - a*(n)). (16)
Растянем теперь интервал [P2, Q2]до единичного и применим к нему процедуру Больцано. В результате придем к формулам (15), (16), в которых нижние индексы увеличены на единицу. И так далее. Таким образом на первом этапе приходим к последовательности интервалов с границами [Рк , Qk 1 где к = 1,2,3.... Перейдем теперь к пределу Lim. В результате получим интервал [Pw, Qw ]. Растянем его
к
до единичного интервала, проделаем те же процедуры и придем к формулам (15) с индексами w + 1 и w. То есть вычислим [Pw+1, Qw+1]. Дальше переходим к индексам w + 2,... w2,... ww..., v и т.д.
На любом шаге мы можем получить ситуацию, когда на очередном интервале не окажется достаточного запаса точек. В алгоритме это проявится в том, что левая часть равенства вида (16) обратится в нуль. На данном шаге вся процедура останавливается и делается заключение о том, что предельной точки не существует. Если же этого не происходит, то процесс продолжается. В таком случае из формул (16) (с соответствующими индексами) видно, что limit(Qv - Pv) = 0.
V—от
Следовательно, предельная точка существует и предложенный алгоритм позволяет вычислить ее координату.
Для вещественной прямой имеется исчерпывающая характеристика исходного множества, которая гарантирует существование предельной точки: множество должно быть, по крайней мере, счетно-бесконечным.
На неархимедовой прямой ситуация гораздо сложнее:
1) во-первых, если ограниченная последовательность является счетной и принадлежит к типу 1, то предельной точки заведомо нет (ее не будет, даже если потребовать монотонность последовательности);
2) далее ясно, что в общем случае предельной точки не будет, если опираться на ограниченный «натуральный» ряд, который используется для нумерации чисел последовательности sv. Такие ряды являются счетными;
3) более того, даже если допустить, что индекс v принадлежит неограниченному и, значит, несчетному «натуральному» ряду, то это также не гарантирует существования предельной точки;
4) предельной точки может не быть, даже если допустить континуум элементов в ограниченном множестве.
Действительно, возьмем, например, ограниченное множество ядер вещественных чисел из отрезка [0,1]. Значит, P1 = 0, Q1 = 1. Пройдем
по описанному выше алгоритму. В результате получим 51 = 0вещ и 5i = 0сущ. Дальше мы должны отбросить все числа, стандартная часть
которых отлична от нуля. Следовательно, мы отбросим все числа, кроме самого числа = 0сущ. То есть уже на первом шаге необходимый
запас точек исчерпывается. Таким образом, даже континуального запаса точек для наших целей оказалось недостаточно.
Полученный отрицательный результат имеет, тем не менее, положительное следствие. Видно, что отсутствие предела связано с тем фактом, что не только рациональные, но и ядра вещественных чисел образуют на неархимедовой прямой весьма разреженное множество: в окрестности (a1 - E, а1 + E) ядра любого вещественного числа а не содержится ни одного ядра другого вещественного числа.
Данное обстоятельство открывает новые возможности для дальнейших построений. На интуитивном уровне их можно описать следующим образом. Коль скоро неархимедова прямая в области конечных натуральных чисел распадается на отдельные отрезки (длиной 2E) и каждый из отрезков содержит ядро только одного вещественного числа, то можно поставить вопрос о «количестве» этих отрезков и, следовательно, о «количестве» вещественных чисел. (Между отрезками есть интервалы прямой, которые вообще не содержат ни одного ядра вещественного числа.) Подробнее этот вопрос рассматривается ниже (§ 55 гл. 14).
Глава 4 Ряды в области существенных чисел
В классическом анализе теория рядов — это теория пределов последовательностей, изложенная на языке бесконечных сумм. Естественно сделать подобный шаг и в неархимедовом анализе. Это значит, что теорию пределов теперь необходимо изложить на языке бесконечных сумм. В неархимедовом анализе есть актуальные бесконечно большие числа и есть собственно бесконечность да. В соответствии с этим можно рассматривать либо суммы с числом слагаемых, равным актуальному бесконечно большому числу (ряды типа 1, или счетные ряды), либо суммы с неограниченным числом слагаемых (ряды типа 2, или несчетные ряды).
§ 16. Счетные ряды
1. Непрерывный случай
Вначале рассмотрим суммы рациональных чисел. В качестве исходного возьмем определение предела s = Lim sn. Предел s — это класс эквивалентности последовательностей, в который входит последовательность
В данный класс могут входить также последовательности, которые отличаются от указанной последовательности любым конечным числом членов.
Положим
Следовательно, вместо исходной последовательности (1) мы имеем последовательность сумм
(1)
