Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 46

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 124 >> Следующая

P1 = sЬ Р2 = s2 - sЬ— Pn = sn - sn-1-
Тогда
sn = P1 + P 2 + ... + Pn ¦
(2)
P1, P1 + Ръ P1 + P 2 + P 3,... P1 + P 2 + ... + Pn,... .
(3)
Данные суммы будем называть частичными суммами. Таким образом, можно записать
s = Lim Sn = Lim(p 1 + p 2 +... + Pn). (4)
n^ w n^ w
Здесь сумма (2) играет роль представления закона изменения sn от n. Некоторые свойства (4) следуют непосредственно из определения предела Limsn. Ясно, что значения предела не изменятся, если доба-
n^ w
вить, например, одно слагаемое, равное 0, либо объединить два слагаемых в одно:
Lim(p 1 + p 2 +... + Pn) = Lim(0 + p 1 + p 2 +... + Pn),
n^ w n^ w
Lim(p 1 + p2 +... + pn) = Lim [(p 1 + p2) +... + pn]•
n^ w n^ w
Если мы дадим вариацию любому из слагаемых с фиксированным номером, то предел изменится на величину данной вариации. Действительно, заменим, например, p3 на p3 + q3. Тогда на эту величину изменится третий и все последующие члены последовательности (3). Поэтому предел получит приращение q3:
Lim [p 1 + p2 + (p3 + q3) + p4 +... + pn] =
n^ w
= Lim(p1 + p 2 +... + pn) + q 3.
n^ w
Можно дать вариацию каждому из слагаемых. В результате получим
Lim [(p 1 + q1) + (p2 + q2) +... + (pn + qn)] = n^w (5)
= Lim( p 1 + p 2 +... + pn) + Lim(q1 + q2 +... + qn).
n^ w n^w
Так как под знаком Lim всегда стоит сумма конечного числа слагаемых, то слагаемые в (5) можно записать в каком угодно порядке и с какими угодно скобками. Например,
Lim [(p 1 + q 1) +... + (pn + qn)] =
n^ w
= Lim [p 1 + p2 +... + pn + q1 + q2 +... + qn] =
n^w
= Lim [pn + qn + pn-1 + qn-1 +... + p 1 + q1].
n^ w
Выше неоднократно использовалось понятие непрерывного продолжения функции. Если функция f (n) определена при конеч-
ных натуральных значениях n, то непрерывным продолжением ее в точку v = Limv(n) называлось следующее число:
n— w
f (v) = Lim f (v(n)).
n—w
В частности,
f (w — 2) = Limf (n — 2), f (w — 1) = Limf (n — 1),
n— w n—w
(6)
f (w) = Limf (n),... f (w2) = Limf (n2).
n—w
Таким образом, сумма (4) по определению представляет собой не что иное, как непрерывное продолжение частичных сумм sn в точку w:
s = s w = Lim(p 1 + p 2 +... + Pn).
n—w
В соответствии с (6) непрерывное продолжение в точку w — 1 равно s w— 1 = Lim sn— 1 = Lim(p1 + p 2 +... + Pn— 1).
n—w n—w
Отсюда
s w — s w— 1 = Lim Pn = p w, (7)
n— w
s w = Lim(p 1 + p 2 +... + pn— 1 + pn) = Lim(p 1 + p 2 +... + pn—1) + pw. (8)
n—w n—w
Аналогично
s w = Lim(p 1 + p 2 + ... + pn— 2 ) + p w— 1 + p w
n— w
и т.д. С другой стороны ряда имеем
Lim(p 1 + p 2 +... + pn) = p 1 + Lim(p 2 + p 3 +... + pn). (9)
n—w n—w
Все это дает основание для применения оператора Lim к каждому
из слагаемых в сумме, стоящей под знаком Lim:
Lim(p 1 + p 2 +... + pn—1 + pn) = Lim p 1 + Lim p 2 +...
n—w n— w n—w
+ Lim pn— 1 + Lim pn = px + p2 +... + p w—1 + pw.
n—w n—w
Читая последние равенства справа налево, мы приходим к следующему определению.
Определение 16.1. Пусть записан символ
s = p 1 + p 2 + ... + pn + ... + p w — 1 + p w, (10)
где каждое из слагаемых с конечным натуральным номером n представляет собой заданное рациональное число pn, а любое из слагаемых
n—w
с бесконечным номером — непрерывное продолжение последовательности слагаемых с конечными номерами, т.е.
p w = Lim Pn, Pw -1 = Lim Pn - Ь P w-2 = Lim Pn-2, — '
n^w n^w n^ w
Тогда символ s будем называть суммой счетного ряда (ряда типа 1) и под s по определению будем понимать следующий предел:
s = Lim(P 1 + p 2 + ... + Pn-1 + Pn).
n^ w
Корректность данного определения следует из (7)-(9). Таким образом, о равенстве (10) теперь можно говорить как о сумме, число слагаемых в которой равно w. Смысл записи (10) необходимо обсудить подробнее. Обратимся снова к последовательности (3) и перепишем ее еще раз:
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed