Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
П-
limit rV (n)
(12)
В рамках введенных понятий выражение в квадратных скобках смысла не имеет. Каждый из членов rV (n) — это абсолютное рациональное число. Можно сказать так: абсолютные рациональные числа отстоят друг от друга слитком далеко, чтобы можно было ставить вопрос о пределе их последовательности в смысле limit. Однако можно поставить вопрос по-другому: последовательность
p(n) < Г1 (n), Г2 (n), — rw (n),... rv (n),... < q(n)
бесконечна и ограничена (в ней n — фиксированный параметр). По теореме классического анализа она имеет точные нижнюю и верхние грани a(n), b (n), где a и b — вещественные числа. «Более точного» результата классический анализ дать не может. Здесь он, однако, и не требуется. Коль скоро последовательность rV (n) определяет два вещественных числа, то, следовательно, она определяет и ядра вещественных чисел a*, b *. А эти объекты уже принадлежат к неархимедовой прямой и могут быть введены в арсенал средств неархимедо-вого анализа. Дадим следующее
Определение 15.1. Если rV — ограниченная последовательность абсолютных рациональных чисел и вещественные числа а и b — ее точные нижняя и верхняя грани, то ядра данных вещественных чисел будем обозначать как
а = limit rV, b = limit rV
и называть наименьшим и наибольшим пределом последовательности rV. Под знаком предела в случае необходимости будем помещать символ v или V ^ <х>.
Теперь символу (12) можно приписать два смысла:
Lim limit rV (n) = Lim a*(n),
Lim limit rV (n) = Lim b (n).
n^ w n^w
Перейдем теперь к аналогу леммы Больцано — Вейерштрасса. Пусть имеется ограниченная последовательность чисел, принадлежащих неархимедовой прямой:
р1 < аь a2, — sn,... sw,... sv,...< Q1. (13)
В классическом анализе не требуется, чтобы все члены последовательности были различными. Лемма будет верна и в этом случае. В неархимедовом анализе это не так. Если, например, есть совпадающие члены и последовательность фактически сводится к типу 1, то предельной точки заведомо не существует. Поэтому предположим, что все значения sV различны. Пусть числа (13) расположены на оси OX. Отобразим ее на ось OY с помощью линейного преобразования:
Y = X + P1 + Q1
Q1 — P1 2(Q1 — P1)
На оси OY все числа попадают на единичный отрезок — —, -
L 2 2 _
Применим к данному отрезку процедуру Больцано. Разделим отрезок пополам. В классическом анализе считается, что всегда можно определить ту половину отрезка, в которую попало бесконечное число точек. Примем, что в неархимедовом анализе всегда можно определить половину отрезка, в которую попало несчетное число точек. Выберем именно эту половину. Если возникает произвол, то всегда будем выбирать левую половину. Повторим эту процедуру
1, 2, 3...к,... раз. В результате придем к последовательности стягивающихся отрезков. Данная последовательность определяет вещественное число 51. Если предельная точка существует, то она либо совпадает с ядром числа 51, т.е. с точкой 5*, либо находится в ореоле этого ядра. Иными словами, стандартная часть предельной точки должна быть равна 5*. Сделаем замену Z = Y — 5*. Отбросим все
точки sV, для образов которых sV на оси OZ stsV ф 0. Точки с нулевой стандартной частью перенумеруем заново и обозначим как sV. Таким образом, теперь для любого v stsV = 0. Пусть
sV = limit Lim rV (m, n).
mn
Для большей ясности предположим, что sV — это элементарные числа. (В общем случае результаты аналогичны.) Тогда sV = Lim rV (n) и
n
проблема сводится к анализу совокупности функций rV (n) (рис. 3.3).
Аргумент пробегает конечные натуральные значения 1, 2, 3,.... Значения функции — обычные (т.е. абсолютные) рациональные числа. Индекс v — идентификатор конкретной функции из заданной их совокупности. Так как для любого v имеет место условие lim rV (n) = 0, то график каждой из функций стремится к горизонталь-
n—— от
ной асимптоте Z = 0. Рассмотрим точки пересечения графиков с
фиксированной вертикальной прямой n = const. Пусть a1 и b 1 — точная нижняя и верхняя грани данной совокупности, a1, b 1 — обычные вещественные числа. Их ядра, согласно Определению 15.1, обозначены как
a* (n) = limit rV (n), b * (n) = limit rV (n).
Теперь можно утверждать, что для любого v
Lim a* (n) < s'V < Lim b * (n). (14)
n n
Указанные границы — бесконечно малые числа. Поэтому интервал (14) лежит внутри ореола числа 0вещ и дает новые границы для положения предельной точки. Возвращаясь к исходной прямой OX, вместо (13) теперь можно записать
P2 < sv < Q2,
где
P2 = (Q1 - P1)(5* + Lima*(n)J + , (15)
