Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
t* = limit A V (v)
V
существует. Будем теперь увеличивать скорость сходимости A V (m) к sV и, значит, приближать A V (v) к sV .В результате придем к значению t , которое при дальнейшем увеличении скорости сходимости больше не меняется. Данное значение можно обозначить как s * и
утверждать, что s* — это и есть точная верхняя грань последовательности (6).
Что и требовалось доказать. ¦
Обсудим теперь данную теорему неформально. Главным (точнее, необходимым, но не достаточным) признаком существования точной грани является «количество» элементов в ограниченном множестве. Их должно быть достаточно много. Нетрудно понять, «сколько» именно элементов необходимо для существования точной грани. Можно ожидать, что их должно быть не меньше, чем элементов в продолженном натуральном ряде чисел. Это соображение основано на следующем. Точная верхняя грань должна конструироваться из элементов числового множества, которое эта грань ограничивает. То есть грань — это число на неархимедовой прямой. С другой стороны, данное число — это класс последовательностей, занумерованных числами продолженного натурального ряда, т.е. ряда типа 2. Поэтому исходного материала для такой конструкции должно быть не меньше, чем элементов в последовательности типа 2.
Если исходного материала недостаточно, то грани не существует. Например, возьмем то же самое множество рациональных чисел
(1), но расположенных уже на существенной прямой. Значение х * = 1сущ по-прежнему будет его верхней гранью. Но теперь это значение уже не будет точной верхней гранью, так как кроме числа 1, можно указать еще сколько угодно верхних граней. Например,
Такая же ситуация будет и для множества (2). Число отсущ будет для
(2) верхней гранью. Однако верхней гранью будет и любое актуальное бесконечно большое число. Например,
Ряд (10) можно продолжать сколько угодно на любые значения п. Ясно, что никакой точной грани здесь не обнаружится. Фигурально выражаясь, можно сказать так: конечное (2) и бесконечное (10) не могут сомкнуться в какой-то конкретной точке. Между ними всегда есть пропасть, обозначаемая знаком пробела. Формально это означает, что на неархимедовой прямой у множества (2) точная верхняя грань отсутствует. Ту же самую природу имеет и факт отсутствия точной нижней грани у ограниченного снизу множества хп = 1/ п. Последнее означает, что миры конечного и актуально бесконечно малого также разделены пропастью. (Конечное
1 - Ew, 1 - E2, 1 - E, 1 - 2E, 1 - 3E,_______
„W ,, w
W , W , W, —,
2
w w w
(10)
3 n
и бесконечно малое не могут сойтись в какой-то точке, которая и была бы тогда точной гранью.) В гл. 8, § 36 будет введено понятие точки горизонта, которое заменяет понятие точной грани в указанных ситуациях.
2. О неархимедовом аналоге леммы Больцано — Вейерштрасса
В классическом анализе большую роль играет лемма Больцано — Вейерштрасса, согласно которой «из любой ограниченной последовательности (1) всегда можно извлечь такую частичную последовательность (4), которая сходилась бы к конечному пределу» [103]. Последовательности, обозначенные в данной цитате как (1) и (4), имеют порядковый тип 1, ограниченность означает существование конечного натурального числа, которое превосходит модуль любого члена последовательности. И наконец, под конечным пределом понимается некоторое вещественное число. В неархимедовом анализе исходная последовательность и ее подпоследовательность имеют порядковый тип 2. Ограниченность означает существование конечного или бесконечно большого «натурального» числа, которое превосходит модуль любого члена последовательности. Сходимость означает наличие существенного числа, которое является пределом некоторой подпоследовательности. Выше было показано, что главным условием существования точной грани является «количество» элементов в ограниченном множестве. Это обстоятельство — основное и для существования сходящейся частичной последовательности. Ясно, что она должна иметь порядковый тип 2. Этого, однако, может быть недостаточно. Последнее проще всего показать, рассматривая процедуру определения предельной точки.
Предварительно введем два понятия. Хорошо известно, какое большое значение в математике имеют символические обозначения и различные правила манипулирования с ними. Запишем символ
limit Lim rV (n). (11)
V^-от n^w
Предположим, что последовательность под знаком limit ограничена числами
P = Limp (n), Q = Lim q (n),
P < A1 = Lim r1(n),... AV = LimrV(n) < Q.
n n
Если дополнительно известно, что данная последовательность является фундаментальной, то символ (11) обозначает некоторое число на неархимедовой прямой. В противном случае «предела не сущест-
вует» и (11) — только некоторый символ. Переставим в (11) знаки пределов и запишем новый символ:
Lim
