Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
P1; P1 + P2; P1 + P2 + Pз; P1 + P2 + Pз + P4,...; P1 + ... + p-;.... (11)
Закономерность перехода от заданного члена последовательности к следующему члену очевидна. Поэтому кажется естественным вместо длинной записи (11) использовать более короткую запись
P1 + P2 + P3 + P4 + ... + Pn-1 + Pn + ... . (12)
Запись (12) имеет уже больший смысл, чем просто сумма каких-то слагаемых. Она устроена таким образом, что первое слагаемое в ней обязательно должно быть равно первому члену последовательности (11), сумма первых двух слагаемых должна быть обязательно равна второму члену последовательности (11) и т.д. То есть здесь становится важным не только величина слагаемого, но и место, которое оно занимает в сумме (12). В некоторых случаях на номер места может указывать индекс слагаемого. Однако, с другой стороны, индекс — это идентификатор самого числа, поэтому в случае перестановок слагаемых он может не соответствовать номеру места. В подобных случаях, если в этом есть необходимость, номер места будем указывать отдельно. Например, если в сумме (12) первые два слагаемых объединить, то мы придем к последовательности
p 1 + p2; p 1 + p2 + p3;...;p 1 + p2 + ... + p-+1,... -
Вместо (12) здесь имеем
(P1 + P 2) + P 3 + P 4 + ". + Pn + Pn+1 +.-или более точно
(P1 + P 2) + P 3 + P 4 + ... + Pn + Pn +1 + .”
1 2 3 ... n -1 n,
Результат очевиден: объединение первых двух слагаемых в одно приводит к изменению предела:
Lim(p! + p2 +... + pn) ф Lim [(p1 + p2) + ... + Pn+1]. (13)
n— w n—w
Новый предел равен
Lim [(p 1 + p2) +... + pn+1] = sw + pw+1 = sw+1-
n—w
Полученный результат вполне естествен. Оператор Lim чувствителен к «скорости сходимости» последовательности. Объединение слагаемых увеличивает «скорость сходимости». Поэтому увеличивается и значение предела (на конкретную величину, равную pw+1). Аналогично добавление нуля к сумме вида (12) уменьшает «скорость сходимости» и, значит, уменьшает предел Lim на вполне определенную величину, равную pw. Действительно, сумме
0 + p 1 + p 2 + ... + pn +...
соответствует следующая запись:
0 + p 1 + p 2 + ... + pn+1 + pn + ...
12 3 ... n n + 1 ...
Отсюда
Lim(0 + p 1 + p2 +... + pn-1) = sw - pw = sw_ 1.
n— w
Определение 16.1 легко распространить на суммы, содержащие любое актуальное бесконечно большое число слагаемых v = Limv(n).
n— w
Запишем номера слагаемых в виде аргументов и примем следующее Определение 16.2. Пусть записан символ
s = p(1) + p(2) +... + p(v - 1) + p(v), (14)
где любое из слагаемых с конечным натуральным номером представляет собой заданное абсолютное рациональное число, а любое из слагаемых с бесконечным номером — непрерывное продолжение последовательностей слагаемых с конечными номерами, т.е.
p(v) = Limp(v(n)), p(v - 1) = Limp(v(n) - 1),... .
n— w n— w
Тогда символ s будем называть суммой ряда типа 1 и под s понимать следующий предел:
s = Lim [p(1) + p(2) + ... + p(v(n))]. (15)
n— w
Для сумм вида (15) будут иметь место свойства, аналогичные свойствам (13). По своей природе данные суммы близки к суммам конечного числа слагаемых. Например, в классическом анализе рас-
сматриваются суммы конечного числа слагаемых, а также суммы с бесконечным числом слагаемых (ряды). Последние определяются как предел частичных сумм. Одно из свойств таких сумм состоит в том, что
lim(p! + p 2 +... + Pn _ i + Pn) = lim(p! + p 2 +... + Pn _ 1).
П^-от П^-от
То есть отбрасывание последнего слагаемого под знаком предела на результате суммирования не сказывается. В случае (14) это не так. Здесь отбрасывание последнего слагаемого уменьшает сумму на вполне определенное число. Таким образом, счетные ряды неархи-медового анализа по своей природе аналогичны суммам конечного числа слагаемых классического анализа.
Итак, мы рассматривали пределы сумм рациональных чисел и пришли к суммам, в которых на местах с бесконечно большими номерами должны стоять обязательно элементарные числа, например число pw = Limp (n) и т.д. Возникает необходимость также в вычис-
n^w
лении сумм, в которых уже и на конечных номерах стоят элементарные или существенные числа. В этом случае все изложенные выше построения остаются в силе. Поэтому ограничимся только итоговым определением.
Определение 16.3. Пусть записан символ
s = Q(1) + Q(2) +... + Q(v - 1) + Q(v), (16)
где Q(1),...Q(n),... — заданные элементарные или существенные числа, а любое из слагаемых с бесконечным номером получено непрерывным продолжением последовательности слагаемых с конечными номерами, т.е.
