Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
дает массу стержня. И вся масса стержня — это актуальный объект, который предстает перед нами одновременно весь целиком.
Таким образом, можно ставить вопрос не о процессе, который разворачивается с течением времени, а о некоторой функции x(t), которая предстает перед нами вся целиком во всем диапазоне изменения своего аргумента. При таком взгляде на одномерное время вопрос о неформальном понимании многомерного времени трудностей не вызывает. Если в одномерном случае мы имеем дело с одной скалярной функцией одного скалярного аргумента, то в многомерном случае у нас будет N скалярных функций от N скалярных аргументов. Причем все N функций во всей многомерной области их определения мы имеем возможность наблюдать целиком («одновременно»).
Итак, общая точка зрения на одномерное и многомерное время состоит не в том, чтобы приписать какое-то «течение» многомерному времени, а напротив, отказаться от представления о течении одномерного времени. Вместо этого допускается «одновременное» созерцание всех состояний, которые приписываются различным значениям t в одномерном случае или созерцание всех состояний, которые приписываются различным компонентам времени T1,T2,_ в многомерном случае.
Указанная точка зрения является крайней. Принцип Гамильтона — Остроградского дает для нее некоторые основания, но вполне достаточными признать их все же нельзя. Все дело в условиях на x(t), которые должны быть заданы. Функционал диктует для x(t) не начальные условия x(t1), x' (t1), а условия на концах промежутка [t 1, 12],
L
0
т.е. значения x(t-) и x(t2). Аналогичные краевые условия будут и в более сложной ситуации, когда речь пойдет не о движении отдельной точки, а о динамике деформирования сплошной среды [-2-]. Уравнения, описывающие динамику среды, относятся, как правило, к гиперболическому типу. Для них не должны ставиться условия, относящиеся к состоянию среды в конечный момент времени.
В связи с этим имеет смысл рассмотреть еще одну интерпретацию многомерного времени, которая совмещает в себе взгляд на функции от времени, с одной стороны, как на актуально заданный объект, а с другой — как на некоторый линейно упорядоченный процесс.
Как отмечалось, время 0^ещ является одномерным и линейно упорядоченным. Многомерность времени проявляется только тогда, когда моменты ^ещ мы рассматриваем с разрешением, которое дает неархимедов анализ. Можно сказать, что неупорядоченность имеет место лишь локально, в пределах ореола ядра фиксированного вещественного числа tE^. Ясно, что теперь можно выделить существенную прямую времени ОТ и движение точки вдоль нее рассматривать как «течение времени» Т. При этом все координаты ореола, которые соответствуют любому фиксированному моменту Т, можно рассматривать как актуальную и целиком заданную окрестность момента времени Т. На основании таких нестрогих рассуждений можно ожидать, что адекватные уравнения должны носить эволюционный характер по переменной Т (например, относиться к гиперболическому типу), а по остальным компонентам многомерного времени можно допустить уравнения эллиптического типа. (Вопрос о выделении из многомерного времени компоненты Т рассмотрен ниже.) Один из возможных подходов к описанию многомерного времени рассматривается в [-30, -3-].
2. Магистральные пространственные координаты
и магистральная компонента многомерного времени
Мы должны исходить из того общепризнанного факта, что непосредственно наблюдаемые нами время является одномерным, а пространство — трехмерным. Поэтому прежде всего необходимо ответить на вопрос, как многомерные гиперкомплексные пространства (2) связаны с нашим трехмерным пространством и одномерным временем. Ответ на этот вопрос дается равенством
j - + j 2 +... + j n = -. (3)
Слева стоят гиперкомплексные базисные элементы, справа — обычная единица.
Равенство (3) задает в многомерном пространстве и многомерном времени одно особое направление, которое назовем магистральным. Неформально эту ситуацию можно пояснить следующим образом. Пусть Ox — вещественная пространственная ось. Глядя на нее с разрешением 1, мы видим прямую, о которой Евклид говорил, что это «длина без ширины». Если же посмотреть на ось Ox с разрешением 2, то мы увидим, что ось превратится в спицу ОX и на нее, подобно бусинам, нанизаны вещественные числа. Каждая из бусин является бесконечномерной и имеет размытую внешнюю границу. Если мы находимся внутри нее, т.е. занимаем определенную точку
то сама спица — пространственная ось OX — выглядит как прямая
Двигаясь вдоль этой прямой, мы можем перейти в ореол другого вещественного числа. Данную прямую именно в этой роли, т.е. как особую (благодаря равенству (3)) прямую в пространстве (4), будем называть магистральной, а ее направление — магистральным. Остальные направления (как альтернативные магистральному) будем называть боковыми направлениями. Аналогичные определения введем и для оси времени.
Теперь можно дать формальное
Определение 51.1. В гиперкомплексном пространстве (4) прямую
