Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
1
§ 51. Движение материальной точки в многомерном пространстве с течением многомерного времени
Пусть некоторая материальная точка движется под действием заданных сил. Материальную точку будем называть также частицей. В рамках классического математического анализа движение частицы описывается тремя скалярными функциями:
X = f (t), y = g(t), z = h (t).
Каждая из функций зависит от одного скалярного аргумента t. Значения функций и значения аргумента — обычные вещественные числа. Условно можно сказать, что в данной ситуации сама материальная точка имеет размер вещественного числа.
Теперь мы хотим уменьшить размер материальной точки до размера существенного числа. Какие возможности дает математический аппарат анализа-2 для описания движения подобной точки? Указанное уменьшение приводит к тому, что координаты х, y, z и время t превращаются в многомерные пространственные переменные и многомерное время. Введем для них обозначения Z(-), Z(2), Z(3) и 0. Тогда формальный и общий ответ на поставленный вопрос состоит в следующем: движение материальной точки описывается тремя функциями:
Z(-) = F(Q), Z(2) = G(Q), Z(3) = H(Q), (-)
где
Z(i) = Xfj- +... + xN/n, i = -,2,3;
N (2)
Q = T-j - + ... + TNjN .
Каждая из координат принадлежит многомасштабной неархимедовой прямой. Число координат в (2) и число масштабов для каждой из координат ничем не ограничено. Поэтому здесь открывается чрезвычайно много возможностей для описания самых различных движений. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые укладываются в описание (-) и удовлетворяют тем или иным условиям гладкости функций. Так как в (-) фигурирует многомерное время, то вначале обсудим вопрос о неформальном представлении «течения» многомерного времени.
1. Как представить себе течение многомерного времени?
Принимая арифметическую концепцию пространства и времени, мы констатируем, что точка пространства — это тройка вещественных чисел, а момент времени — одно вещественное число, расположенное на вещественной оси 0^ещ (индекс будем опускать). Течение времени мы воспринимаем как движение точки вдоль оси 0t. Это одномерное движение и поэтому время, которое мы воспринимаем непосредственно, является одномерным.
С уменьшением масштаба наблюдения арифметическая концепция приводит к представлению о многомерном времени. Как представить себе его течение? Формально говоря, на подобные вопросы можно не только не отвечать, но даже не ставить их. Однако необходимость в их постановке все же есть, так как хорошо известно, что именно неформальные представления являются действительным источником многих математических построений. Попытаемся найти какую-то общую точку зрения на одномерное и многомерное время. Основное свойство одномерного времени связано с его линейной упорядоченностью. В многомерном случае упорядоченности нет. Поэтому необходимо найти другую основу для сопоставления.
Возможное решение вопроса подсказывается вариационным принципом Гамильтона — Остроградского. Пусть некоторая материальная точка движется вдоль оси 0х по закону x = x(t), tL < t < t2. Ничто не мешает изобразить график функции x(t) в плоскости переменных х, t. В «действительности» процесс х = x(t) никогда не предстает перед нами весь целиком. Мы сами живем во времени t и поэтому вначале наблюдаем положение точки x(tL), затем x(t) при больших t и в конце концов приходим к положению x (t2). Такому последовательному наблюдению отвечает и форма записи закона движения точки, например следующая:
Здесь мы стартуем из точки x = H. Затем переходим в новое положение при t > t1и т.д. до момента t = t2. Закон движения записан через производные по времени и полностью отвечает нашему представлению о течении времени от меньших значений t к большим.
Однако тот же самый закон можно записать по-другому. Образуем функционал
d 2 x dt2
g = const, x(tL) = H, dx(tl) = 0.
dt
Согласно принципу Гамильтона — Остроградского, действительное движение x(t) доставляет функционалу стационарное значение. В данном законе значения x(t) при всех t из диапазона [t 1, 12] фигурируют «одновременно» и, кроме того, в начальный и конечный момент времени значения x(t) должны быть зафиксированы. Наличие интеграла по времени принципиально меняет наш взгляд на данный процесс и вообще на роль времени. Теперь можно считать, что сами мы находимся вне времени t и нам доступно созерцание процесса x = x(t) всего целиком («одновременно» для всех t, t1 < t < t2). Теперь можно говорить не о процессе x = x(t), а только о функции x(t), которая приобрела почти тот же самый статус, что и, например, функция р(х), где р — плотность стержня 0 < x < L. Значение интеграла
