Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
m
R = — v0.
G0
Импульс постоянен, непрерывен и равен по величине
Su (t, t) m-------= m • v0.
St
«Работа», связанная с движением частицы между точками разрыва, равна
L u =
mv0
(te + tq + t p ).
«Работа», которая пошла на преодоления разрывов, равна
l r = mmi te. R G 2 e
Общая «работа» определяется выражением
L u + L r =
mv0
2
te + tp + tq +— te
G
Следовательно, действие — это есть не что иное, как «работа», а «действие» — реальная работа, совершенная над сплошным телом в процессе его сдвига.
Таким образом, из расширенного вариационного принципа Гамильтона — Остроградского следует
Закон инерции в следующей форме:
-0. Существует система координат, в которой материальная точка, свободная от внешних сил, сохраняет свой импульс неизменным в течение сколь угодно больших промежутков времени, или существует система координат, в которой импульс материальной точки, свободной от внешних сил, сохраняется неизменным как на проме-
жутках времени, где смещения точки непрерывны, так и в моменты, когда смещения испытывают сильные разрывы на стыке различных масштабных уровней времени.
20. Величина импульса определяет величину скорости точки на промежутках, где смещение непрерывно, а также величину скачка перемещения в моменты реализации данных скачков.
Для деформируемого тела аналог закона инерции звучит так:
10. В одномерном твердом теле, боковая поверхность которого от напряжений свободна, магистральное напряжение передается без изменений сколь угодно далеко, или по-другому: магистральное напряжение остается неизменным как на участках, где смещения непрерывны, так и на поверхностях сильного разрыва смещений.
20. Величина магистрального напряжения определяет градиент смещения на участках непрерывности смещений, а также величину разрыва смещений на поверхностях разрыва.
Проще говоря, если взять стержень, закрепить его одним концом, а к другому приложить растягивающую силу s, то эта сила без изменений будет передаваться в каждое сечение стержня при любой сколь угодно большой его длине. (Нагружение является квазистати-ческим.) Данная сила определяет как деформации стержня, так и величину раскрытия трещин. При плоскопараллельном сдвиге картина будет аналогичной.
Деформирование тела магистральным напряжением требует затрат энергии, которые пропорциональны размеру тела. Таким образом, для передачи напряжения s на расстояние L требуется затратить энергию, пропорциональную L. С другой стороны, перемещение частицы по инерции на любое расстояние L не требует никаких затрат энергии. Однако величина действия в этом случае также пропорциональна L и это действие есть прямой аналог указанной выше работы. Таким образом, аналогия позволяет приписать действию определенный физический смысл: действие — это «работа» магистрального «напряжения».
2. Аналогия между движением частицы под действием
постоянной силы и плоскопараллельным сдвигом сплошной среды
Пусть F = const и, следовательно, V(u) = F • и. Уравнение (5) § 45
,, д 2 u(x,Х) F
m2F
дХ 2
имеет следующее решение:
— = F X + a (x), и = F X2 + a (x) X + b (x). дХ m 2,
Подстановка в (6) § 45 дает
a (x + l) - a (x) F lm
Следовательно,
поэтому
a (x) = —x + c, c = const, m
u = — (x + X)2 + d(x) + cX, 2m
(2)
где введено обозначение
d(x) = b(x) - —x2.
2m
Подстановка (7) § 45 дает уравнение на функцию d(x)
d(x + l) - d(x) F F
— -----— = — x + — q +
l G G
c.
Решение данного уравнения фактически содержится в примерах 1, 2 § 35. Подставляя данное решение в (2), получим следующий результат:
, у F (x + X)2 Fx2 Fq - р , у ч m n ii\
u (x, X) = — --+---------+ —-—- x + c (x + X) + c—x + D; (3)
m 2 G 2 G 2 G
sX
m
где c, D — две постоянные. Последнее равенство указывает на смысл постоянной c:
Su (0,0)
c=
sX
Постоянная D определяется краевым условием. Далее,
О = f(x + X) + c m; R =u (x +l,-P) - “(x,q) = F (x + q) + c m.
l G G
Величина среднего сдвига от x до x + l равна
