Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 113

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 124 >> Следующая

ди3
1
e»=-3 2
dui
дх3
dxi
1
е3 = -ij2
dui + ди_
dx3 dxi
, i,3 = 1,2.
Их разности (наряду с разностью поворотов) дают описание кинематики процессов, которые происходят на стыке разных уровней.
Вопрос о напряжениях гораздо сложнее. Ряд трудностей удается снять, если вместо тензора напряжений ввести функцию, имеющую смысл вектора внутренних усилий.
Процедуру введения данной функции можно пояснить, рассматривая деформирование в обычной архимедовой плоскости.
Пусть некоторое тело деформируется в плоскости Ox 1 х 2 (рис. 12.1). Зафиксируем точку O, принадлежащую телу, и соединим ее с точкой A произвольной кривой OBA, также принадлежащей телу. Обозначим через f = {f 1,f2} усилие, которое действует на контур OBA со стороны нормали, показанной на рис. 12.1. Если взять другой контур OB'A, то усилие будет таким же. (Нагружение
является квазистатическим, массовые силы отсутствуют.) Таким образом, функция f зависит только от координат точки A. Связь функции f с напряжениями дается формулами
Условие парности касательных напряжений приводит к уравнению
Таким образом, во всех построениях вектор f может заменить тензор напряжений. При этом два уравнения равновесия относительно напряжений переходят в одно уравнение (4).
Предположим, что определяющие уравнения связывают компоненты напряжений с компонентами деформаций. Сделаем замену (3). В результате получим четыре уравнения первого порядка относительно компонент векторов и и f .Во многих отношениях такая система более удобная и естественная, чем та, которая обычно используется, т.е. система из пяти уравнений относительно смещений и напряжений: два уравнения равновесия плюс три определяющих уравнения. В определенном смысле последняя система является патологической. Действительно, формально она представляет собой пять дифференциальных уравнений первого порядка, однако сводится к одному уравнению только четвертого порядка (в упругости — к бигармоническому уравнению относительно функции Эри). Далее, условия Коши для такой системы всегда будут зависимыми между собой и т.д. [16, 26]. Система же относительно переменных и и f от указанных недостатков свободна. Следует также отметить, что функция f с необходимостью появляется в формулах Колосова — Мусхелишвили. Причем ясно видна равноправность векторов и и f: структура формул относительно u1 + i • u2 и f1 + i • f2 одинакова [132].
В_ернемся теперь к неархимедовой плоскости (1). Здесь функция f зависит от четырех переменных: f1 = f1(x 1, x 2, X1, X2), /2 = = f2(x 1,x2,X1, X2). Ее производные поx 1,x2 — это напряжения (3) вещественного масштабного уровня, производные по X1, X2 — напряжения микроуровня
dx 1
(3)
div f = f + f = 0.
(4)
dx 1 dx2
Отсюда сразу следуют условия совместности напряжений, которые получить другим способом было бы весьма затруднительно:
dt11 = ds 11 dt12 = ds 12
ax 2
dt21 dx 1
dx 2 ds 21 dX 1 '
dx2
dt 22 dx 1
dX 2 ds 22 dX 1
Puc. 12.2.
Перейдем к определяющим уравнениям. Известно, что для их формулировки необходимо привлечение экспериментальных данных, гипотез о механизме деформирования среды и т.д. Будем исходить из упругопластической модели горной породы [9-11, 16].
Пусть эффективная регулярная упаковка несущих зерен ориентирована вдоль координатных осей (рис. 12.2). В неархимедовой плоскости (1) производным по координатам x 1, x 2 соответствуют ос-редненные деформации, взятые на базе, относящейся к центрам частиц. Производным по переменным X 1; Х2 соответствуют деформации самих частиц (микродеформации). Различия в данных производных описывают проскальзывания на контактах между частицами.
Рассмотрим структуру определяющих уравнений. Влиянием по-ровой среды пренебрежем. Отсюда следует, что tj = sj, или
(5)
f = f dXj dxj '
Нет большого смысла учитывать неоднородность деформаций и напряжений в пределах отдельных частиц. В [16] используются ос-редненные характеристики частиц и предположение об их упругом поведении. С учетом (3), (5) закон Гука для плоской деформации можно записать в следующем виде:
du!
dX 1 du 2 dX 2 du] du2
+ dX7
1 -V df1(x 1, x2, 0,0) V
2m
- e22 = -
1 - V 2m
dX 2 df2 - JV_ dX 1 2m
2m
sh dX 1
f dX 2
= 2e12 = - '
1 df2
m dX 2
где v, m — упругие постоянные.
Перейдем теперь к вопросу об уравнениях для описания перехода с одного масштабного уровня на другой. Рассмотрим форму типичного уравнения для одномерного случая. Пусть u = u(X) = u(x, X) — некоторая функция, зависящая от неархимедовой переменной и р — известный актуально бесконечно малый размер, который управляет переходом с одного масштабного уровня на другой. Предположим, что разрыв в точке X = х + р известен:
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed