Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Z = А 1j 1 +... + AnJn = ЦА1,...Ane(lnA 1-C)j 1+... +lnA«-C)jN . (14)
В теории функций комплексного переменного коэффициент при экспоненте определяется как модуль числа. Здесь также примем, что модуль Z равен данному коэффициенту. Видно, что тот модуль, который был введен выше из соображений симметрии, совпал с модулем (14). Случай (10) приводит к тому же результату. Таким образом, предположения о модуле (7) и предположение о действительной части числа (13) эквивалентны между собой.
§ 50. Пространство над полем комплексных существенных чисел
Обратимся к представлению (10) § 49. Если некоторые компоненты гиперкомплексного числа отрицательны, то в тригонометрической форме числа неизбежно появляется мнимая единица i. Выше отмечалось, что введение в математический анализ бесконечно большого числа w и двойной единицы j также неизбежно влечет за собой появление мнимой единицы i:
epiw =-j, i2 = -1, j2 = 1.
Указанные две посылки являются достаточными для того, чтобы с самого начала числовое пространство Z строить над полем комплексных чисел. Саму теорию комплексных чисел можно не излагать, так как она полностью совпадает с общепринятой. Необходимо только во всех выкладках вещественные числа х и у заменить на числа X и Y, принадлежащие неархимедовой прямой. Например, если модуль числа x + iy равен Jx2 + y2, то теперь
|X + iY| = л/ X2 + Y2.
Таким образом, мы приходим к следующей числовой системе:
Z = Z 1j 1 + ... + ZNjN ; (1)
Z1 = X1 + (Y1,... Zn = Xn + iUn,
где все компоненты X к, ик — некоторые существенные числа. Не повторяя обоснований, запишем сразу
| Z| = | Z1I l1...| ZnI lN ,
где
11 + 12 + ... + l N = 1.
Остановимся на варианте, когда
I1 = 12 = ... = In = Z| = N|Z 111Z2|...|Zn|.
Далее,
exp [(a 1 + ib 1)j 1 +... + (an + ibn )Jn] =
= g(a1 + ib1) j 1 +.+ g aN + ibNjN =
= (A 1 + iB1)j 1 +... + (An + iBN )j N J
где
ак = WA2 + Вк , tgb к = Вк /Ак .
Данные формулы дают тригонометрическое представление для любого числа из области (1).
Рассмотрим теперь функцию W(Z). Предположим, что значения аргумента и функции лежат в числовой области (1):
W = W(Z) = W,(Z)j 1 +... + Wn (Z)jn, (2)
где
W1 = W1(Z 1,Z 2... Zn ),
Wn = Wn (Z uZ 2... Zn ).
Таким образом, одна функция (2) свелась к N комплексным функциям от N комплексных аргументов, или к 2N существенных функций от 2N существенных аргументов:
Рк = Рк (X1,Yb...,YN), (3)
ак = ак (X1,y1,...,Yn ),
Рк + ак = W, X к + iYk = Zk.
Рассмотрим условия аналитичности функции W(Z). С точностью до AX k, AYk имеем
AW
~AZ~
dP1
dX1
dP1
dX1
AX1
^ AY1 + iQ AX1 + iQ AY1 + ^
dY1 1 dX1 1 dY1 1 dX2
AX2
J1-
( AX1 + iAY1 )j
AX
AY1 + i ^ AX dY1 1 dX1
- ( AX n .dQ1
dY1
AY
iAYN )j k
dP1
+ dX
(4)
AX
AX1 + iAY
-j 1 +... .
Пусть AZ ^ 0. Предел отношения не зависит от закона стремления AZ к 0, если
dP1 = 0 dP1 = n- dQ1 = n dQ1
dYk
= 0;
= 0,
dYk
= 0
(5)
при k = 2,3...N. Следовательно, функции P1, Q1 могут зависеть только от X1, Y1, функции P2, Q2 — только от X2, Y2 и т.д. Отсюда
W1 = W1(Z 1),... Wn = Wn (Zn ).
Кроме того, для каждой из функций должны выполняться условия Коши — Римана
dPk
dYk
dQk dX k
= 0,
dQk
dYk
= 0, k = 1,2...N.
(6)
Очевидно, что из (6), (5) следует существование предела (4). Таким образом, имеет место следующая
Теорема 50.1. Для того чтобы гиперкомплексная функция W была дифференцируемой по гиперкомплексной переменной Z, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (5) и, кроме того, для каждой комплексной компоненты Wk (Zk) выполнялись условия Коши — Римана (6).
Иными словами, каждая из комплексных компонент должна быть дифференцируемой по собственному комплексному аргументу. Таким образом, среди всевозможных функций гиперкомплексной переменной Z дифференцируемые по Z функции составляют весьма узкий класс. Для описания более широких классов необходимо ослабить условия Коши — Римана, а также условия (5). Далее можно снимать ограничения, связанные с дифференцируемостью отдельных компонент (3). Учитывая тот факт, что каждый из аргументов X1,...Yn принадлежит к бесконечномасштабной неархимедовой прямой, мы видим, что рассматриваемый математический аппарат дает чрезвычайно много возможностей для построения теорий самого различного плана. Рассмотрим некоторые иллюстрации.
